Géométrie dans l'espace coin de cube

Posté par Maths11 Maths11

Bonjour vous pouvez m'aidez svp :

OABC est un "coin de cube" et OA=OB=OC=3 (cm)
I est le milieu de [AB].
Calculer la hauteur OH de cette pyramide.
Calculer de 2 manières différentes l'aire du triangle ABC et le volume du coin de cube.

Merci d'avance

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Voici la méthode pour calculer OH :

1) Le triangle AOB est rectangle isocèle en O : tu peux calculer la longueur OI.

2) Le triangle OIC est rectangle en O. Tu connais OI et OC, donc tu peux calculer IC.

3) Le triangle ABC est équilatéral. (IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]

4) Dans le tiangle OIC rectangle en O, tu pourras maintenant calculer OH. ( (OH) est une hauteur)

Posté par Maths11 Maths11

Ok merci mais il faut calculer le volume et l'aire de 2 manières non?

Posté par Maths11 Maths11

"(IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]"
Comment je connais la position de H ?

Posté par jamo jamo

Volume = AireBase*hauteur/2

Méthode 1 :
Base = ABC Hauteur = OH


Méthode 2 :
Base = OAB Hauteur = OC

Posté par jamo jamo




ABC est un triangle équilatéral, donc l'orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre de gravité sont confondus. Et tu dois savoir que le centre de gravité est situé à 1/3 et 2/3 sur la médiane ...

Posté par Maths11 Maths11

OK merci mais je comprend pas comment on fait
"(IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]"

Posté par Maths11 Maths11

Mais dans l'énoncé H n'est pas le centre de gravité

Posté par jamo jamo

Oui, mais ABC est équilatéral ...

Posté par Maths11 Maths11

Je sais mais comment on peut savoir si H est sur [IC] et à 1/3

Posté par jamo jamo

Essaie de faire des dessins à l'échelle des faces du tétraèdre, des différents triangles, et tu comprendras vite pourquoi ...

Posté par Maths11 Maths11

ok j'ai trouvé que IC= 3racine6/2

Posté par jamo jamo

Alors calcule OI et OC, puis trace le triangle OIC ...

Posté par Maths11 Maths11

OI = 3racine2/2

Posté par Maths11 Maths11

OC=3cm

Posté par Maths11 Maths11

Ci²=13.5
CI = racine13.5

Posté par jamo jamo

Trace le triangle OIC, puis trace la hauteur issue de O, cela te donnera H sur [IC]

Posté par Maths11 Maths11

Je comprend plus rien la

Posté par Maths11 Maths11

J'ai tracé COI et la hauteur issue de O mais après...

Posté par jamo jamo

Tu connais OI, OC et IC ??

Alors trace le triangle OIC.

Posté par Maths11 Maths11

Oui je l'ai fait

Posté par jamo jamo

La hauteur issue de O coupe (IC) en H !

Posté par Maths11 Maths11

Voila

Posté par Maths11 Maths11

Je sais mais dans ma copie, je peux pas faire une figure et mesurer la longueur

Posté par jamo jamo

Ben voilà !

Je pense que tu arriveras à calculer OH, non ?

Posté par Maths11 Maths11

Comment je fais ?

Posté par jamo jamo

Le triangle IOC estrectangle en O, tu peux donc calculer l'angle OIC.

Cet angle est égal à l'angle OIH dans le triangle OHI rectangle en H, tu arriveras donc à calculer OH ...

Posté par Maths11 Maths11

Ah OK ! merci j'avais pas pensé au cosinus, sinus...

Posté par jamo jamo

Ok ...

Posté par Maths11 Maths11

en fait je vais avoir un résultat approché car
cosOIC=racine6/3

Posté par jamo jamo

Non, tu peux trouver une valeur exacte.

Pour cela, utilise le sinus ... et comme on l'utilise dans les 2 triangles, il disparaitra ...

Posté par Maths11 Maths11

cosCIO=IO/IC= (3racine2/2) / (3racine3/2) = 35°

Posté par Maths11 Maths11

sinCIO=CO/CI = 3/(3racine3/3) = 2racine3/3

Posté par jamo jamo

Prend le sinus ...

Posté par Maths11 Maths11

mais c'est écrit MAeror sur la calculatrice

Posté par jamo jamo

Oui, et le sinus est aussi égal à OH/OI

Donc : OC/IC = OH/OI (en fait, on a 2 triangles semblables ...)

Posté par Maths11 Maths11

ce qui est égal à sin-1 3/(3racine3/2) ?

Posté par jamo jamo

Peu importe, on a pas besoin de l'angle ...

OC/IC = OH/OI

<==> OH = OC*OI/IC

Posté par Maths11 Maths11

OH=3racine6/2

Posté par jamo jamo

Je te laisse vérifier si ca marche sur la figure ...

Posté par Maths11 Maths11

Attend on peut reparir du début, je suis perdu la.
Je peux te donner mon raissonnement ?

Posté par jamo jamo

Si tu veux ...

Posté par Maths11 Maths11

Alors rapidement :

BC=BA=CA

BCA est équilatéral

SOit T le pied de la hauteur issue de C

CT= 3racine6/2

Aire de CBA = 9racine3/2 cm²

Aire de BOA = 4.5cm²

Volume de la pyramide = Aire de BOA*OH/3
OH/3=racine3/3
OH= racine3

C'est bon ?

Posté par jamo jamo

Non, le volume est égal à Aire(ABC)*OH/3

Posté par Maths11 Maths11

Oui je sais mais pour avoir le volume on peut fair aussi Aire(BOA)*OC/3 non?

Posté par jamo jamo

Oui, aussi.

Mais tu avais un peu mélangé les 2, tu avais écris Aire(BOA)*OH/3

Posté par Maths11 Maths11

ah ok.

Le résultat est juste ?

Posté par jamo jamo

Est-ce que tu trouves le même volume avec les 2 méthodes ??

Posté par Maths11 Maths11

Non

Posté par jamo jamo

Alors y a un problème qq part !!

Le volume est égal à :

V = Aire(AOB)*OC/3 =

Aire(AOB) = 3*3/2= 9/2

Donc V = (9/2)*3/3 = 4.5 cm³