Forum des énigmes mathématiques :
Tarzan

Tarzan a l'intention de franchir une rivière remplie de piranhas.



Il grimpe sur un arbre à 4 m du sol et saisit une liane de 5 m faisant un angle de 60° avec la verticale.

Il part, sans vitesse initiale et lâche la liane en un point C de sa trajectoire, il finit sa course au sol en un point B.

Quelle est la distance AB maximum qui pourra être franchie par Tarzan ?

Dans les calculs, Tarzan sera considéré comme une masse ponctuelle, la masse de la liane est négligeable et les points A et B sont à la même altitude, l'accélération de la pesanteur sera prise égale à 10 m/s² (10 N/kg pour celui qui préfère).

La distance demandée sera donnée arrondie au cm le plus proche.

Si vous pensez qu'il manque des données pour pouvoir répondre à la question posée, indiquez "Problème impossible".


Bonne chance à tous.

Bonjour J-P,

Je trouve une distance maximale légèrement inférieure à 12,26 m.
Tarzan doit lâcher la liane lorsqu'elle fait un angle de 33° environ avec la verticale.

Cordialement
Frenicle

apres avoir fait l'esemble des calculs, en notant y l'angle avec la verticale au moment ou tarzan lache la liane, j'arrive à la formule :

AB = v*cos(y)*(v*sin(y)+(v²sin²(y)+8g)) + 5*(sin(60)+sin(y))

avec v=((10*(cos(60)-cos(y))/m)

j'en déduis une conclusion que j'aurais du déduire par logique dès le début: on ne peut pas maximiser cette fonction sans connaitre le poid de tarzan.

je dirais donc "probleme impossible"

mais je me trompe surement, as usual ^^

en tout cas le probleme etait sympa

hop , je me suis trompé, c'etait un g et pas un  m

finalement, la résolution me donne comme distance maximum : 11.7761 metres

pour un angle y de 23.1000

tant pis pour le poisson, l'important c'est de participer

je ressortirais cette enigme à ma soeur qui va passer son bac, tiens

Bonjour,

je pense qu'il s'agit de 1226 cm environ (plus exactement 12 m 25 cm et 8.5 mm toujours de manière approximative)

Bonjour,

après achat d'une liane, et pas mal d'essais, je propose 9,55 m.

Je trouve 12,26m arrondi au cm le plus proche.

Bonjour tout le monde

Soit A le projeté orthogonal de T, S' celui de S et C' celui de C sur AB

Je pense que Tarzan doit avoir une trajactoire en C de 45° pour rendre optimal son trajet. (enfin, j'espère)

Ainsi, (je vous passe les calculs) je détermine que

AB = AS' + S'C' + C'B

avec

AS'=  5 x sin60
S'C'= 5 x cos45 et
C'B solution positive de l'équation de parabole trouvée par le mouvement d'une particule soumise à une force constante (d'autres mathiliens plus experimentés en Latex pourront l'écrire )

Après calculs, je trouve AB = 11.59 m

Sauf erreur,

@ plus, Chaudrack

Je trouve 12.26 m

Mouvement circulaire et Energie potentielle+Energie cinetique=cste

nous donne les composantes horizontale et verticale de la vitesse de Tarzan en fonction du moment où T lache la liane.

Equation de chute d'un corps à la surface de la terre avec vitesse initiale nous permet de calculer la durée de la chute libre.


Ce qui donne le déplacement horizontal en chute libre.


La somme des deux donne la distance franchie AB

Je crois que c'est environ 12,26 mètres, fait numériquement avec l'aide de Maple.

Merci pour l'énigme.

Le mouvement se décompose avec une partie de trajectoire de pendule, et une chute libre avec une vitesse initiale.

calculons la hauteur(altitude de tarzan en fonction de , l'angle que fait tarzan avec la verticale. (négatif à gauche, positif à droite) Ainsi Tarzan part de =-60°.

Le sommet S se trouve à 6,5m d'altitude, d'apres Pythagore dans le triangle TSO, et SO=5cos.

Donc h()=6,5-5cos.

On peut maintenant calculer la vitesse instantanée de Tarzan...
avec la conservation de l'energie: mv^2=mgh
<=> v=(gh)
<=> v()=(g(6,5-5cos))

Calculons désormais la distance(horizontale) parcourue par tarzan jusqu'au point C:
AO'=5sin60 et O'C'=5sin

Donc d()=5(sin+3/2).

La deuxieme partie est une chute libre avec une vitesse initiale, v() et d'angle par rapport à l'horizontale. En effet, (SC) est perpendiculaire à v, et la partie horizontale est perpendiculaire à la partie verticale, donc l'angle est conservé.

Or, la portée (distance horizontale) d'un objet lancé en chute libre, sans frottements avec un angle par rapport à l'horizontale avec une vitesse v, d'une hauteur h est:

d=v*cos/g  *  [v*sin + ((v*sin)^2+2gh)]

Dtotal est donc égale à:

D()=5(sin+3/2)+v*cos/g  *  [v*sin + ((v*sin)^2+2gh)]

Il faudrait donc maintenant deriver D() par rapport à pour trouver le maximum.
Seulement, je n'en ressent pas le courage, aussi je me retourne sur une solution graphique, et ainsi, la distance maximale est environ 15.297 que j'arrondis à 15 m et 30 centimetres. Ce qui me parait bien logique en ordre de grandeur.

L'angle correspondant(OSC) serait d'environ 53,5°

Voila... J'espere que nous verons d'autres démo plus convainquantes...

J'ai oublié de préciser que la formule précédente venait de Newton, g=a, avec a l'accéleration, et en integrant... et patati et patata... c'est magique

Et ce probleme méritait bien ses étoiles.

Merci J.P.

bonsoir
je trouve 9,58 m

bonjour
Tarzan peut espérer franchir 10,36 m au maximum (arrondi au centimètre)
rayon fois accélération angulaire = g * sinus de l'angle entre la liane et la verticale (positif avant d'arriver à la verticale, négatif après l'avoir déplacée); ici accélération = 2 fois le sinus
formules du tableur (la première ligne contient les titres)
a2 : 1000 (relevé de la situation tous les 1000ièmes de seconde
colonne a (angle) : a3 = pi()/3     a4 = a3-d3
colonne b (accélération angulaire) : b3 = 2*sin(a3)
colonne c (vitesse moyenne) c2 = 0; c3 =  c2+b3/2/$a$2
colonne d (parcours) d3 = c3/$a$2
colonne e (vitesse horizontale par seconde) : e4 = (sin(a3)-sin(a4))*5*$a$2
colonne f (vitesse ascensionnelle par seconde) : f4 = (cos(a3)- cos(a4)*5*$a$2
colonne g (altitude) : g3 = 4     g4 = 6,5-5*cos(a4)
colonne h (avancée) : h4 = 5*(sin(pi()/3)-sin(a4))
colonne i (temps après lâcher) : i4 = (F4+RACINE(F4^2+20*G4))/10  'racine de l'équation  5 temps² -vitesse ascensionnelle * temps - altitude
colonne j (résultat) : j4 = h4+e4*i4
Tarzan devra lâcher la liane après 2,4 secondes

Bonjour,

Ah, la mécanique !

AB maximum = 18,46 m

A+
gloubi
-

Puisque de toute façon je ne sais pas comment on pourrait calculer ça, je vais répondre problème impossible
Une chance sur deux... même si je pense que ce n'est pas ça :-°

Merci pour l'énigme

11,79 m

salut tt le monde

En fait j'ai pas pu résister les charmes de cette énigme (elle m'a beaucoup excité ), espérons que je me trompe pas quelque part car c'est l'unique énigme dont je participe ce moi, ma réponse arrondi au centimétre le plus proche sera 12.26 m.

Les vacances approchent et je vais enfin pouvoir passer un peu de temps sur l'île.
A bientôt !!

Bonjour

Schéma :



Au point la vitesse est nulle donc l'énergie cinétique également, d'où .

Comme l'énergie mécanique se conserve, on peut écrire :



Or avec la longueur de la liane. On a aussi d'où :



De même on détermine la vitesse au point :



Or



En prenant on obtient

Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire circulaire, on remarque qu'il forme un angle avec l'horizontal et que .

Au point lorsque Tarzan lache la liane, il n'est soumis qu'à son propre poids donc il décrit une trajectoire parabolique qui a pour équation :

avec , , , et constantes.

On a

Soit en prenant on se ramène à :



On cherche donc à résoudre l'équation .

Son discriminant est :



On ne conserve que les solutions positives donc :



Puis en remplaçant on obtient finalement :



Ensuite j'ai fait varier le paramètre de 0 à 60° et on s'aperçoit que est maximal pour .

En diminuant le pas dans mon tableur on aboutit à

On a donc déterminé la distance à laquelle est atterie Tarzan par rapport à son emplacement au point .

Pour connaître la distance totale parcourue par Tarzan, il faut ajouter les longueurs et .

On a donc finalement

La distance maximale qui pourra être franchie par Tarzan arrondie au cm le plus proche est

Merci pour l'énigme J-P

Bonjour,
je trouve 10,36m, par résolution numérique.
Juste une remarque: Edgar Rice Burroughs situe les aventures de Tarzan dans la jungle africaine, tandis que les piranhas vivent dans les rivières de l'Amazonie...

Enigme clôturée.

Quelques explications.

Soit l'angle fait par la liane par rapport à la verticale (quand Tarzan est à droite de la verticale passant par S).

Avec h la différence d'altitude entre le point de départ de la trajectoire et C :


La conservation de l'énergie mécanique du système donne:
(1/2)mv² = mgh
v² = 2gh
avec la vitesse de Tarzan en fonction de

En prenant A comme origine du repère, (AB) comme axe des abscisses et la verticale passant par A comme axe des ordonnées.
En prenant l'origine des temps au moment où Tarzan lâche la liane, on a directement:




Tarzan touche le sol en y = 0.
Le moment d'arrivée au sol est trouvé par la valeur de t positive qui satisfait l'équation du second degré en t:


On trouve

On remet cette expression de t dans l'équation de x(t) et après simplification, on arrive à:



Il suffit de trouver le maximum de x (soit le max de la distance AB)

Si on a le courage, étude analytique, sinon étude graphique ou approche numérique ...

On trouve que x est maximum pour et que

Soit AB(max) = 12,26 m arrondi au cm le plus proche.

La courbe de la distance AB en fonction de l'angle est celle-ci:


-----

Bonjour,

j'adore les énigmes de J-P.

Très joli latex, Kévin  

Bonjour,

très belle énigme.

Je viens de reprendre mon brouillon et mes calculs ... et voilà ce qui arrive quand on divise par (-2a) ou lieu de (2a) pour calculer les racines d'une équation du 2nd degré : on trouve l'autre racine ... et on trouve 9,55 à la place de 12,26 !! Pffffffffff

Je sais ce qu'il me reste à faire avec la liane que j'avais acheté pour faire la simulation !

Bonjour

Merci pour l'énigme J-P, très intéressante !

citation :
Très joli latex, Kévin

Oui mais c'est faux

J'ai compris ta correction J-P, mais je ne vois pas où je me suis planté, quelqu'un pourrait me dire ?

Peut-être parce que j'ai appliqué la formule générale ?

Merci !

Bonjour infophile,

tu as oublié que c'est la primitive de t est t²/2 ...

Il te manque le 1/2 devant ton x² !

Et ton V0, c'est la composante sur l'axe des abscisses normalement ...

Bonjour jamo,

Non le 1/2 il y est puisque g=10 j'ai mis 5

Et la composante sur l'axe des abscisses est donnée par

Non ?

Oui, mais dans l'équation que tu donnes :

* il manque le 1/2

* et c'est V₀*cos(alpha) qui doit apparaitre au dénominateur, pas V₀

Tu parles de ce passage :

?

Ah oui, j'ai zappé ton cosinus au carré ...

Mais il te manque bien le 1/2 ! Non ?

Non regarde le 2 il est au dénominateur

Mais il n'était pas dans ta formule donnée à 12H57 !?

Ah oui !

Mais dans ma réponse à l'énigme ça bloque où ?

Merci.

infophile. C'ets la distance totale qu'il faut maximiser et non lma deuxieme partie du saut

La première distance dépend également de alpha

Je crois que c'est ton calcul de V0

Tu as écrit :

V₀² = 2*g*L(1-2*cos(60))

Mais c'est cos(alpha) à la place de cos(60) ... non ?

ici, je pense que tu as maximisé uniquement la chute libre

Oh non je suis désespérant

Merci Eric !

jamo > Non le Vo je trouve comme J-P

Dans les calculs je me suis trompé dès le début je crois

Ah oui, je confond V₀ , V_O et V_C ...

Question subsidiaire :

Quelle hauteur Tarzan atteint-il dans les conditions de l'énoncé ? Et à quelle vitesse arrive-t-il au sol ?

Salut infophile.

Dans ton expression encadrée de y, il manque un "carré" sur le cos(alpha) au dénominateur du terme en x².
Mais cela semble être corrigé plus loin.

Soit, l'erreur n'est pas là.

Ton problème est que ton expression de x représente le déplacement horizontal de Tarzan APRES qu'il a laché la corde
MAIS le trajet (en abscisse) fait avant de lacher la corde dépend aussi de alpha.

Il faut donc l'inclure à la valeur du déplacement horizontal AVANT d'en chercher le max.

Si on appelle x le déplacement TOTAL horizontal , on a alors:

x = 5.(sin(60° + sin(alpha) + TON EXPRESSION.

Si tu cherches maintenant le max de x, tu trouveras la bonne réponse.

Zut lire:

x = 5.(sin(60°) + sin(alpha)) + TON EXPRESSION

Merci J-P

Bonjour infophile,

Ta question subsidiaire se résout très simplement en utilisant la conservation de l'énergie.
La hauteur maximale atteinte est de 4 m (hauteur initiale) et sa vitesse en arrivant au sol est donnée par l'équation v²/2 = gh, avec h = 4m, soit v = 45 m/s

Cordialement
Frenicle

Salut frenicle

Alors un peu plus compliqué :

Calculez la longueur de la trajectoire décrite par Tarzan

Pour la longueur de la trajectoire:

La partie circulaire est triviale à calculer, pour le reste:

A partir des expressions de x = V(100cos(alpha)-50).cos(alpha) * t
et y = 6,5 - 5.cos(alpha) + V(100cos(alpha)-50) * sin(alpha) * t - 5t²

On calcule dx/dt et dy/dt et on en déduit (au grand damme de certains) h(t) = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

et en remplaçant dans h(t), t par x/V(100cos(alpha)-50).cos(alpha), on obtient (dy/dx)(x)

La longueur de la trajectoire est donnée par l'intégrale sur x de racinecarrée(1 + ((dy/dx)(x))²).
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Sauf distraction.

Oui je voyais ça comme ça

A+ sur l'

Tiens, il n'existe pas de formule exacte pour la longueur d'un arc de parabole ...