L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Forum des énigmes mathématiques :
Tarzan***

utilisation forumFAQ forumLaTeX  |  stats énigmesclassementénigmes  |  cherchenon répondus  |  statistiques sur forum
forums Forums >> énigmes         [tout]
énigmes : mode d'emploi

Pour plus d'options, connectez connectez vous !
   

page 1   page 2
#msg1103788 posté le 03/05/2007 à 11:27

Tarzan***

forum énigmesprofil de J-Pposté par : correcteur J-P (Correcteur)
Tarzan a l'intention de franchir une rivière remplie de piranhas.



Il grimpe sur un arbre à 4 m du sol et saisit une liane de 5 m faisant un angle de 60° avec la verticale.

Il part, sans vitesse initiale et lâche la liane en un point C de sa trajectoire, il finit sa course au sol en un point B.

Quelle est la distance AB maximum qui pourra être franchie par Tarzan ?

Dans les calculs, Tarzan sera considéré comme une masse ponctuelle, la masse de la liane est négligeable et les points A et B sont à la même altitude, l'accélération de la pesanteur sera prise égale à 10 m/s² (10 N/kg pour celui qui préfère).

La distance demandée sera donnée arrondie au cm le plus proche.

Si vous pensez qu'il manque des données pour pouvoir répondre à la question posée, indiquez "Problème impossible".


Bonne chance à tous.
#msg1103860 posté le 03/05/2007 à 13:12

re : Tarzan***gagné

profil de frenicleposté par : frenicle *
Bonjour J-P,

Je trouve une distance maximale légèrement inférieure à 12,26 m.
Tarzan doit lâcher la liane lorsqu'elle fait un angle de 33° environ avec la verticale.

Cordialement
Frenicle
#msg1103865 posté le 03/05/2007 à 13:15

re : Tarzan***perdu

posté par : orb (invité)
apres avoir fait l'esemble des calculs, en notant y l'angle avec la verticale au moment ou tarzan lache la liane, j'arrive à la formule :

AB = v*cos(y)*(v*sin(y)+(v²sin²(y)+8g)) + 5*(sin(60)+sin(y))

avec v=((10*(cos(60)-cos(y))/m)

j'en déduis une conclusion que j'aurais du déduire par logique dès le début: on ne peut pas maximiser cette fonction sans connaitre le poid de tarzan.

je dirais donc "probleme impossible"

mais je me trompe surement, as usual ^^

en tout cas le probleme etait sympa
#msg1103905 posté le 03/05/2007 à 13:48

re : Tarzan***

posté par : orb (invité)
hop , je me suis trompé, c'etait un g et pas un  m

finalement, la résolution me donne comme distance maximum : 11.7761 metres

pour un angle y de 23.1000

tant pis pour le poisson, l'important c'est de participer

je ressortirais cette enigme à ma soeur qui va passer son bac, tiens
#msg1103970 posté le 03/05/2007 à 14:31

re : Tarzan***gagné

posté par : nobody (invité)
Bonjour,

je pense qu'il s'agit de 1226 cm environ (plus exactement 12 m 25 cm et 8.5 mm toujours de manière approximative)
#msg1103981 posté le 03/05/2007 à 14:49

re : Tarzan***perdu

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Bonjour,

après achat d'une liane, et pas mal d'essais, je propose 9,55 m.
#msg1104020 posté le 03/05/2007 à 15:40

re : Tarzan***gagné

profil de Nofutur2posté par : Nofutur2 *
Je trouve 12,26m arrondi au cm le plus proche.
#msg1104049 posté le 03/05/2007 à 15:54

re : Tarzan***perdu

profil de chaudrackposté par : chaudrack
Bonjour tout le monde

Soit A le projeté orthogonal de T, S' celui de S et C' celui de C sur AB

Je pense que Tarzan doit avoir une trajactoire en C de 45° pour rendre optimal son trajet. (enfin, j'espère)

Ainsi, (je vous passe les calculs) je détermine que

AB = AS' + S'C' + C'B

avec

AS'=  5 x sin60
S'C'= 5 x cos45 et
C'B solution positive de l'équation de parabole trouvée par le mouvement d'une particule soumise à une force constante (d'autres mathiliens plus experimentés en Latex pourront l'écrire )

Après calculs, je trouve AB = 11.59 m

Sauf erreur,

@ plus, Chaudrack
#msg1104122 posté le 03/05/2007 à 16:43

Tarzoongagné

profil de dhalteposté par : dhalte
Je trouve 12.26 m

Mouvement circulaire et Energie potentielle+Energie cinetique=cste

nous donne les composantes horizontale et verticale de la vitesse de Tarzan en fonction du moment où T lache la liane.

Equation de chute d'un corps à la surface de la terre avec vitesse initiale nous permet de calculer la durée de la chute libre.


Ce qui donne le déplacement horizontal en chute libre.


La somme des deux donne la distance franchie AB
#msg1104752 posté le 03/05/2007 à 20:32

re : Tarzan***gagné

profil de davidlabposté par : davidlab
Je crois que c'est environ 12,26 mètres, fait numériquement avec l'aide de Maple.

Merci pour l'énigme.
#msg1104915 posté le 03/05/2007 à 21:15

re : Tarzan***perdu

profil de Eric1posté par : Eric1
Le mouvement se décompose avec une partie de trajectoire de pendule, et une chute libre avec une vitesse initiale.

calculons la hauteur(altitude de tarzan en fonction de , l'angle que fait tarzan avec la verticale. (négatif à gauche, positif à droite) Ainsi Tarzan part de =-60°.

Le sommet S se trouve à 6,5m d'altitude, d'apres Pythagore dans le triangle TSO, et SO=5cos.

Donc h()=6,5-5cos.

On peut maintenant calculer la vitesse instantanée de Tarzan...
avec la conservation de l'energie: mv^2=mgh
<=> v=(gh)
<=> v()=(g(6,5-5cos))

Calculons désormais la distance(horizontale) parcourue par tarzan jusqu'au point C:
AO'=5sin60 et O'C'=5sin

Donc d()=5(sin+3/2).

La deuxieme partie est une chute libre avec une vitesse initiale, v() et d'angle par rapport à l'horizontale. En effet, (SC) est perpendiculaire à v, et la partie horizontale est perpendiculaire à la partie verticale, donc l'angle est conservé.

Or, la portée (distance horizontale) d'un objet lancé en chute libre, sans frottements avec un angle par rapport à l'horizontale avec une vitesse v, d'une hauteur h est:

d=v*cos/g  *  [v*sin + ((v*sin)^2+2gh)]

Dtotal est donc égale à:

D()=5(sin+3/2)+v*cos/g  *  [v*sin + ((v*sin)^2+2gh)]

Il faudrait donc maintenant deriver D() par rapport à pour trouver le maximum.
Seulement, je n'en ressent pas le courage, aussi je me retourne sur une solution graphique, et ainsi, la distance maximale est environ 15.297 que j'arrondis à 15 m et 30 centimetres. Ce qui me parait bien logique en ordre de grandeur.

L'angle correspondant(OSC) serait d'environ 53,5°

Voila... J'espere que nous verons d'autres démo plus convainquantes...

#msg1104946 posté le 03/05/2007 à 21:20

re : Tarzan***

profil de Eric1posté par : Eric1
J'ai oublié de préciser que la formule précédente venait de Newton, g=a, avec a l'accéleration, et en integrant... et patati et patata... c'est magique

Et ce probleme méritait bien ses étoiles.

Merci J.P.
#msg1105153 posté le 03/05/2007 à 22:44

re : Tarzan***perdu

profil de smilposté par : smil
bonsoir
je trouve 9,58 m
#msg1105285 posté le 04/05/2007 à 00:00

re : Tarzan***perdu

profil de plumemeteoreposté par : plumemeteore *
bonjour
Tarzan peut espérer franchir 10,36 m au maximum (arrondi au centimètre)
rayon fois accélération angulaire = g * sinus de l'angle entre la liane et la verticale (positif avant d'arriver à la verticale, négatif après l'avoir déplacée); ici accélération = 2 fois le sinus
formules du tableur (la première ligne contient les titres)
a2 : 1000 (relevé de la situation tous les 1000ièmes de seconde
colonne a (angle) : a3 = pi()/3     a4 = a3-d3
colonne b (accélération angulaire) : b3 = 2*sin(a3)
colonne c (vitesse moyenne) c2 = 0; c3 =  c2+b3/2/$a$2
colonne d (parcours) d3 = c3/$a$2
colonne e (vitesse horizontale par seconde) : e4 = (sin(a3)-sin(a4))*5*$a$2
colonne f (vitesse ascensionnelle par seconde) : f4 = (cos(a3)- cos(a4)*5*$a$2
colonne g (altitude) : g3 = 4     g4 = 6,5-5*cos(a4)
colonne h (avancée) : h4 = 5*(sin(pi()/3)-sin(a4))
colonne i (temps après lâcher) : i4 = (F4+RACINE(F4^2+20*G4))/10  'racine de l'équation  5 temps² -vitesse ascensionnelle * temps - altitude
colonne j (résultat) : j4 = h4+e4*i4
Tarzan devra lâcher la liane après 2,4 secondes
#msg1105536 posté le 04/05/2007 à 14:35

re : Tarzan***perdu

profil de gloubiposté par : gloubi *
Bonjour,

Ah, la mécanique !

AB maximum = 18,46 m

A+
gloubi
-
#msg1107084 posté le 05/05/2007 à 16:20

re : Tarzan***perdu

profil de o_0posté par : o_0
Puisque de toute façon je ne sais pas comment on pourrait calculer ça, je vais répondre problème impossible
Une chance sur deux... même si je pense que ce n'est pas ça :-°

Merci pour l'énigme
#msg1108211 posté le 06/05/2007 à 00:33

re : Tarzan***perdu

posté par : Lankou (invité)
11,79 m
#msg1108273 posté le 06/05/2007 à 01:05

re : Tarzan***gagné

profil de master_ochposté par : master_och
salut tt le monde

En fait j'ai pas pu résister les charmes de cette énigme (elle m'a beaucoup excité ), espérons que je me trompe pas quelque part car c'est l'unique énigme dont je participe ce moi, ma réponse arrondi au centimétre le plus proche sera 12.26 m.

Les vacances approchent et je vais enfin pouvoir passer un peu de temps sur l'île.
A bientôt !!
#msg1110730 posté le 06/05/2007 à 20:21

De bonnes révisions pour le bac !perdu

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Bonjour

Schéma
:



Au point la vitesse est nulle donc l'énergie cinétique également, d'où .

Comme l'énergie mécanique se conserve, on peut écrire :



Or avec la longueur de la liane. On a aussi d'où :



De même on détermine la vitesse au point :



Or



En prenant on obtient

Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire circulaire, on remarque qu'il forme un angle avec l'horizontal et que .

Au point lorsque Tarzan lache la liane, il n'est soumis qu'à son propre poids donc il décrit une trajectoire parabolique qui a pour équation :

avec , , , et constantes.

On a

Soit en prenant on se ramène à :



On cherche donc à résoudre l'équation .

Son discriminant est :



On ne conserve que les solutions positives donc :



Puis en remplaçant on obtient finalement :



Ensuite j'ai fait varier le paramètre de 0 à 60° et on s'aperçoit que est maximal pour .

En diminuant le pas dans mon tableur on aboutit à

On a donc déterminé la distance à laquelle est atterie Tarzan par rapport à son emplacement au point .

Pour connaître la distance totale parcourue par Tarzan, il faut ajouter les longueurs et .

On a donc finalement

La distance maximale qui pourra être franchie par Tarzan arrondie au cm le plus proche est

Merci pour l'énigme J-P
#msg1111676 posté le 07/05/2007 à 17:21

re : Tarzan***perdu

profil de piepalmposté par : piepalm
Bonjour,
je trouve 10,36m, par résolution numérique.
Juste une remarque: Edgar Rice Burroughs situe les aventures de Tarzan dans la jungle africaine, tandis que les piranhas vivent dans les rivières de l'Amazonie...
#msg1112416 posté le 08/05/2007 à 08:08

re : Tarzan***

profil de J-Pposté par : correcteur J-P (Correcteur)
Enigme clôturée.

Quelques explications.

Soit l'angle fait par la liane par rapport à la verticale (quand Tarzan est à droite de la verticale passant par S).

Avec h la différence d'altitude entre le point de départ de la trajectoire et C :


La conservation de l'énergie mécanique du système donne:
(1/2)mv² = mgh
v² = 2gh
avec la vitesse de Tarzan en fonction de

En prenant A comme origine du repère, (AB) comme axe des abscisses et la verticale passant par A comme axe des ordonnées.
En prenant l'origine des temps au moment où Tarzan lâche la liane, on a directement:




Tarzan touche le sol en y = 0.
Le moment d'arrivée au sol est trouvé par la valeur de t positive qui satisfait l'équation du second degré en t:


On trouve

On remet cette expression de t dans l'équation de x(t) et après simplification, on arrive à:



Il suffit de trouver le maximum de x (soit le max de la distance AB)

Si on a le courage, étude analytique, sinon étude graphique ou approche numérique ...

On trouve que x est maximum pour et que

Soit AB(max) = 12,26 m arrondi au cm le plus proche.

La courbe de la distance AB en fonction de l'angle est celle-ci:


-----
#msg1112432 posté le 08/05/2007 à 08:44

re : Tarzan***

profil de borneoposté par : borneo
Bonjour,

j'adore les énigmes de J-P.

Très joli latex, Kévin  
#msg1112434 posté le 08/05/2007 à 08:52

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Bonjour,

très belle énigme.

Je viens de reprendre mon brouillon et mes calculs ... et voilà ce qui arrive quand on divise par (-2a) ou lieu de (2a) pour calculer les racines d'une équation du 2nd degré : on trouve l'autre racine ... et on trouve 9,55 à la place de 12,26 !! Pffffffffff

Je sais ce qu'il me reste à faire avec la liane que j'avais acheté pour faire la simulation !
#msg1113006 posté le 08/05/2007 à 12:57

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Bonjour

Merci pour l'énigme J-P, très intéressante !

citation :
Très joli latex, Kévin


Oui mais c'est faux

J'ai compris ta correction J-P, mais je ne vois pas où je me suis planté, quelqu'un pourrait me dire ?

Peut-être parce que j'ai appliqué la formule générale ?

Merci !
#msg1113018 posté le 08/05/2007 à 13:02

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Bonjour infophile,

tu as oublié que c'est la primitive de t est t²/2 ...

Il te manque le 1/2 devant ton x² !

Et ton V0, c'est la composante sur l'axe des abscisses normalement ...
#msg1113037 posté le 08/05/2007 à 13:07

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Bonjour jamo,

Non le 1/2 il y est puisque g=10 j'ai mis 5

Et la composante sur l'axe des abscisses est donnée par

Non ?
#msg1113042 posté le 08/05/2007 à 13:09

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Oui, mais dans l'équation que tu donnes :

* il manque le 1/2

* et c'est V0*cos(alpha) qui doit apparaitre au dénominateur, pas V0
#msg1113056 posté le 08/05/2007 à 13:12

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Tu parles de ce passage :

?
#msg1113070 posté le 08/05/2007 à 13:15

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Ah oui, j'ai zappé ton cosinus au carré ...

Mais il te manque bien le 1/2 ! Non ?
#msg1113072 posté le 08/05/2007 à 13:15

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Non regarde le 2 il est au dénominateur
#msg1113074 posté le 08/05/2007 à 13:16

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Mais il n'était pas dans ta formule donnée à 12H57 !?
#msg1113078 posté le 08/05/2007 à 13:17

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Ah oui !

Mais dans ma réponse à l'énigme ça bloque où ?

Merci.
#msg1113082 posté le 08/05/2007 à 13:18

re : Tarzan***

profil de Eric1posté par : Eric1
infophile. C'ets la distance totale qu'il faut maximiser et non lma deuxieme partie du saut
#msg1113086 posté le 08/05/2007 à 13:19

re : Tarzan***

profil de Eric1posté par : Eric1
La première distance dépend également de alpha
#msg1113089 posté le 08/05/2007 à 13:20

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Je crois que c'est ton calcul de V0

Tu as écrit :

V0² = 2*g*L(1-2*cos(60))

Mais c'est cos(alpha) à la place de cos(60) ... non ?
#msg1113090 posté le 08/05/2007 à 13:21

re : Tarzan***

profil de Eric1posté par : Eric1
ici, je pense que tu as maximisé uniquement la chute libre
#msg1113091 posté le 08/05/2007 à 13:21

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Oh non je suis désespérant

Merci Eric !
#msg1113096 posté le 08/05/2007 à 13:22

re : Tarzan***

profil de Eric1posté par : Eric1
#msg1113100 posté le 08/05/2007 à 13:22

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
jamo > Non le Vo je trouve comme J-P
#msg1113111 posté le 08/05/2007 à 13:25

re : Tarzan***

profil de Eric1posté par : Eric1
Dans les calculs je me suis trompé dès le début je crois
#msg1113112 posté le 08/05/2007 à 13:26

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Ah oui, je confond V0 , VO et VC ...
#msg1113152 posté le 08/05/2007 à 13:33

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Question subsidiaire :

Quelle hauteur Tarzan atteint-il dans les conditions de l'énoncé ? Et à quelle vitesse arrive-t-il au sol ?

#msg1113256 posté le 08/05/2007 à 13:50

re : Tarzan***

profil de J-Pposté par : correcteur J-P (Correcteur)
Salut infophile.

Dans ton expression encadrée de y, il manque un "carré" sur le cos(alpha) au dénominateur du terme en x².
Mais cela semble être corrigé plus loin.

Soit, l'erreur n'est pas là.

Ton problème est que ton expression de x représente le déplacement horizontal de Tarzan APRES qu'il a laché la corde
MAIS le trajet (en abscisse) fait avant de lacher la corde dépend aussi de alpha.

Il faut donc l'inclure à la valeur du déplacement horizontal AVANT d'en chercher le max.

Si on appelle x le déplacement TOTAL horizontal , on a alors:

x = 5.(sin(60° + sin(alpha) + TON EXPRESSION.

Si tu cherches maintenant le max de x, tu trouveras la bonne réponse.


#msg1113266 posté le 08/05/2007 à 13:52

re : Tarzan***

profil de J-Pposté par : correcteur J-P (Correcteur)
Zut lire:

x = 5.(sin(60°) + sin(alpha)) + TON EXPRESSION

#msg1113318 posté le 08/05/2007 à 14:02

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Merci J-P
#msg1113354 posté le 08/05/2007 à 14:08

re : Tarzan***

profil de frenicleposté par : frenicle *
Bonjour infophile,

Ta question subsidiaire se résout très simplement en utilisant la conservation de l'énergie.
La hauteur maximale atteinte est de 4 m (hauteur initiale) et sa vitesse en arrivant au sol est donnée par l'équation v²/2 = gh, avec h = 4m, soit v = 45 m/s

Cordialement
Frenicle
#msg1113387 posté le 08/05/2007 à 14:12

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Salut frenicle

Alors un peu plus compliqué :

Calculez la longueur de la trajectoire décrite par Tarzan
#msg1113788 posté le 08/05/2007 à 15:15

re : Tarzan***

profil de J-Pposté par : correcteur J-P (Correcteur)
Pour la longueur de la trajectoire:

La partie circulaire est triviale à calculer, pour le reste:

A partir des expressions de x = V(100cos(alpha)-50).cos(alpha) * t
et y = 6,5 - 5.cos(alpha) + V(100cos(alpha)-50) * sin(alpha) * t - 5t²

On calcule dx/dt et dy/dt et on en déduit (au grand damme de certains) h(t) = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

et en remplaçant dans h(t), t par x/V(100cos(alpha)-50).cos(alpha), on obtient (dy/dx)(x)

La longueur de la trajectoire est donnée par l'intégrale sur x de racinecarrée(1 + ((dy/dx)(x))²).
-----
Sauf distraction.
#msg1113836 posté le 08/05/2007 à 15:22

re : Tarzan***

profil de infophileposté par : infophile (privilegié) *
Oui je voyais ça comme ça

A+ sur l'
#msg1113864 posté le 08/05/2007 à 15:26

re : Tarzan***

profil de jamoposté par : correcteur jamo (Correcteur)
Tiens, il n'existe pas de formule exacte pour la longueur d'un arc de parabole ...
page 1   page 2

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.
utilisation forumFAQ forumLaTeX  |  stats énigmesclassementénigmes  |  cherchenon répondus  |  statistiques sur forum
forums Forums >> énigmes         [tout]
énigmes : mode d'emploi

Pour plus d'options, connectez connectez vous !
   


cours particuliers

Menu

Membres



page d'accueil.    favoris    imprimer

Voir aussi