Suites

Posté par Mely90 Mely90

Bonjour à tous,
je vous présente mon exercice que je n'ai pas réussi à résoudre, ce serait bien si vous pouviez m'aider Merci
  
On considère la suite (Un) définie sur N par: (U0=4
                                               (Un+1= 0.75Un(-1) pour tout n N

1) Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (Un)

2) On considère la suite (Vn) définie sur N par: Vn= Un(+4)

   a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique.
   b) Exprimer (Vn) puis (Un) en fonction de n.
   c) En déduire le sens de variation de la suite (Un).
   d) montrer que la suite (Un) est convergente et calculer sa limite.

3) On pose S'n= V0+V1+V2+...+Vn et Sn= U0+U1+U2+...+Un.
   Exprimer S'n puis Sn en fonction de n. Déterminer lim S'n et lim Sn
                                                n+  n[smb]infini

Posté par Coll Coll

Bonjour,

Cela aide souvent d'y voir clair avant de se lancer dans les démonstrations de calculer les premiers termes.

Que trouves-tu pour :
U₀ = 4
U₁ = ... ?
U₂ = ... ?
U₃ = ... ?

V₀ = ... ?
V₁ = ... ?
V₂ = ... ?
V₃ = ... ?

Posté par Mely90 Mely90

Bonjour,
alors :
  U0=4, U1=2, U2=0.5, U3= -0.625
  V0= 8, V1= 6  V2=4.5  et V3= 3.375
  

Posté par Coll Coll



Alors, réponses aux questions maintenant... mais le terrain est bien "éclairé" !

Posté par Mely90 Mely90

La suite (Un) est décroissante... d'après les calculs par contre je ne comprends pas pour le mot: convergente ???

Posté par Thibs Thibs

Comment procèdes tu pour prouver qu'une suite est géométrique?

Posté par Coll Coll

Une suite est convergente si elle admet une limite quand n

Si est cette limite, à partir d'un certain rang n de la suite la différence entre U_n et sera aussi petite que l'on voudra.

Posté par Mely90 Mely90

Mais Ici, Un est égal à quoi?

Posté par Coll Coll

Tu répondras à cette question à la question 2b

Mais tu as déjà une idée puisque tu connais les valeurs prises par U_n quand n = 0 ou 1 ou 2 ou 3 ; tu les as bien calculées.

Conjectures de la question 1 ?
Réponse à la question 2a ?

Posté par Mely90 Mely90

On conjecture que la suite Un est décroissante d'après les calculs n=0 n=1 n=2 n=3 , on conjecture que (Un) converge vers...

Pour calculer (Un) on remplace n par n-1

Posté par Coll Coll


On peut en rester là pour l'instant (à moins d'avoir une grande habitude...)

Ensuite on s'occupe de V_n
Quel est le terme général de V_n ? Comment montres-tu que la suite V_n est géométrique ?

Posté par Mely90 Mely90

On calcule (Vn+1)/Vn qui nous donner

Posté par Mely90 Mely90

Escuse-moi j'ai posté sans faire exprès.
Ce calcul nous donnera Q la raison de la suite Vn= Un  +4

Posté par Coll Coll

D'accord

V_n = ... ?
V_n+1 = ... ?

Le rapport V_n+1 / V_n = ... ?

Posté par Mely90 Mely90

Le rapport est:   0.75Un +3 / Un +4

Posté par Thibs Thibs

Remarques que 0.75Un +3 = 0.75(Un +4)

Posté par Coll Coll

Bonjour Thibs
Si tu veux l'aider, je te laisse faire volontiers !

Posté par Thibs Thibs

Ca ira merci (un peu marre des suites)

Posté par Mely90 Mely90

Pourquoi 0.75Un +3 = 0.75(Un + 4)?

Posté par Coll Coll

Thibs > Ah ... ? Il m'a semblé à 10 h 25 que ce sujet t'intéressait...

Posté par Mely90 Mely90

Coll... Si 0,75Un + 3 = 0,75(Un + 4) alors la raison est de 1 ?

Posté par Coll Coll

Mely90 >

V_n+1 = U_n+1 + 4
V_n+1 = (0,75.U_n - 1) + 4

Mais
U_n = V_n - 4

Donc
V_n+1 = [0,75.(V_n - 4) - 1] + 4

A toi...

Posté par Mely90 Mely90

vn+1= 0.75Vn

Posté par Coll Coll

Conclusion sur la nature de la suite V_n ?

Posté par Mely90 Mely90

La suite est géométrique de raison 0.75 !

Posté par Coll Coll

Oui !

La suite maintenant... (pas de difficulté particulière !)

Posté par Mely90 Mely90

Eh bien,
Vn= Un+4 et Un= 0.75*Un-1 -1

Posté par Coll Coll



V_n en fonction de n, et de rien d'autre... pas en fonction de U_n

De même ensuite U_n en fonction de n, et de rien d'autre...

N'oublie pas que U₀ = 4 et que tu as su trouver que V₀ = 8

Posté par Mely90 Mely90

mais le problème c'est que je sais pas faire apparaitre le n seul

Posté par Coll Coll

Il faut commencer par la suite V_n
V₀ = 8

Tu sais que cette suite est une suite géométrique dont tu as calculé la raison.
Dans un problème bien écrit les questions se suivent ; il faut utiliser maintenant ce que tu as démontré précédemment !

Posté par Mely90 Mely90

Ah Ok...
Vn= V0*qn
donc Vn= 8*0.75^n

Posté par Coll Coll

Mais oui...

et donc pour U_n maintenant

Posté par Mely90 Mely90

on sait que Vn= Un +4 donc Un= Vn -4
                           Un= 8*0.75^n -4

Posté par Coll Coll



La suite... tu peux poster en une fois si tu veux ; ce n'est pas difficile.
Pour la question 3 il faut peut-être que tu jettes un œil sur ton cours ! Somme des termes d'une suite géométrique...

Posté par Mely90 Mely90

Oui c'est sûr,
pour la c) Un+1 - Un=  8 *0.75^n+1 -4 - 8*0.75^n -4
                    = 8*0.75^n+1 -8*0.75^n
                    =[n+1 -n] 8*0.75
Après je bloque....

Posté par Coll Coll



Quel est le sens de variation de la suite géométrique V_n de premier terme 8 et de raison 0,75 ?

U_n est la somme d'une constante et de cette suite V_n ; quel est son sens de variation ?

Tu peux aussi calculer... à condition de savoir calculer avec les puissances (pas comme tu as fait à la dernière ligne dans le message de 20 h 26)

Posté par Mely90 Mely90

pour tout n appartenant à N la suite géométrique Vn de premier terme 8 et de raison 0.75 est croissante.
Un la somme d'une constante et de cette suite Vn est croissante également.

Posté par Coll Coll



Est-ce que cela correspond à ton message de 10 h 21 ?

Posté par Mely90 Mely90

Non ...

Posté par Coll Coll

La raison de la suite géométrique V_n est inférieure à 1

Posté par Mely90 Mely90

ah donc elle est décroissante

Posté par Coll Coll

Eh oui...
Les deux suites sont décroissantes !

(tu fatigues peut-être... je dis cela sérieusement ; il est pour quand cet exercice ? )

Posté par Mely90 Mely90

C'est dur pour Moi quand même, il est pour demain

Posté par Coll Coll

Dans cet ordre :
La suite V_n est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?

Conclusion pour la suite U_n

Posté par Mely90 Mely90

j'arrive pas à trouver si elle est convergente

Posté par Coll Coll

Il faut quand même que tu regardes attentivement ton cours...
Suite géométrique de raison inférieure à 1...

Posté par Mely90 Mely90

sa limite est de O, elle est convergente donc Un est convergente

Posté par Coll Coll

Oui, U_n est convergente et comme U_n = V_n - 4
quelle est la limite de U_n ?

Posté par Mely90 Mely90

Eh bien Lim Un= -4

Posté par Coll Coll

Exact !

Pour la question 3, comme je te l'ai dit à 20 h 20, il faut que tu utilises ton cours : somme des termes d'une suite géométrique (pour S'_n) et ce sera facile ensuite pour S_n