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Longueur d'un arc de cercle


concoursLongueur d'un arc de cercle

#msg1112692#msg1112692 Posté le 08-05-07 à 11:18
Posté par CocoBongo (invité)

Bonjour à tous, je suis étudiant, je prépare le CAPES de maths.

Je prépare un dossier sur le thème "Fonction de référence et fonctions associées", on me demande une définition de la longueur d'un arc de cercle, au niveau collège lycée et je n'arrive pas à en trouver une vraiment rigoureuse.

Je vous expose celle que j'ai, on a donc un cercle de rayon R.
Un arc de cercle dont l'angle au centre est égal à X, et on nomme l la longueur de l'arc.

Dèfinition: La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre:
         l=R*x

Mais je ne sais pas à quel niveau se situe cette définition

Il me semblait qu'il y en avait une avec un angle au centre égal à 1 radian mais je n'arrive pas à la retrouver et à résoudre l'exercice avec.

Si vous avez quelques informations sur cette définition et la classe où on voit cette définition, merci de m'aider.

Nicolas
re : Longueur d'un arc de cercle#msg1112732#msg1112732 Posté le 08-05-07 à 11:32
Posté par wouf (invité)

La définition dont tu parles (qui serait plutôt une propriété) est implicitement admise au collège.
Je réfléchissais à son utilisation, je n'en vois qu'une: la construction du patron d'un cône de révolution (en 4ème-3ème).
Mais on utilise avant la proportionnalité entre l'angle et l'aire du secteur angulaire, pour construire des diagrammes circulaires.

Remarque:
Au collège, on utilise unique ment le degré.


***********
re : Longueur d'un arc de cercle#msg1112762#msg1112762 Posté le 08-05-07 à 11:38
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

bonjour CocoBongo
l'angle au centre de 1 radian limite un arc de cercle de longeur égale à celle du rayon
un angle au centre de x radians limite donc un arc de longueur x*r
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re : Longueur d'un arc de cercle#msg1112782#msg1112782 Posté le 08-05-07 à 11:42
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

rebonjour
un angle au centre de 180 degrés limite un demi-cercle; il est donc égal à pi radians
un angle qui mesure x degrés mesure aussi x * pi/180 radians
si x est en degrés, l'angle x limite un arc de longeur x*r*pi/180
re : Longueur d'un arc de cercle#msg1112920#msg1112920 Posté le 08-05-07 à 12:18
Posté par CocoBongo (invité)

En fait l'utilisation de la longueur d'arc de cercle dans le dossier que je prépare, c'est pour arriver ensuite à démontrer lim (sinx)/x =1 quand x tend vers O

La solution la plus simple c'est avec les aires, seulement il y a des quastions et je dois y répondre.

Je vous met le lien de mon dossier
http://capes-math.univ-rennes1.fr/dossiers-05-06/Analyse/Dossier72.pdf

Voilà, pour la question 2 j'ai utilisé deux suites adjacentes de lignes polygonales intérieures et extérieures à l'arc de cercle, et j'ai défini la longueur de l'arc de cercle comme la limite commune des deux suites.

Mais pour en déduire l'inégalité de la question trois je dois utiliser la définition plus collège (il me semble mais je n'arrive pas à trouver d'énoncé exact dans un livre) pour utiliser le fait que l(Am)=x

Merci en tout cas de m'avoir répondu si vite, c'est donc bien au niveau du collège que l'on voit cette définition.

Merci beaucoup, maintenant le seul problème que j'ai c'est trouver des exercices sur le thème "fonctions de référence et fonctions associées", j'en ai trouvé plusieurs, mais ce sont tous un peu dans le même style, utilisant un changement de repère, en ce ramenant à des fonctions de référence vues en seconde, seulement j'aurais voulu en trouver un en utilisant les fonctions exponentielle ou logarithme mais je n'en trouve pas.

Si vous avez des informations susceptibles de m'aider je vous en remercie par avance

Nico
re : Longueur d'un arc de cercle#msg1113809#msg1113809 Posté le 08-05-07 à 15:18
Posté par CocoBongo (invité)

Merci en tout cas wouf et plumemeteore pour m'avoir répondu, et oui c'est vrai c'est plutot une propriété de la longueur de l'arc de cercle, mais dans ce cas là je ne vois pas bien comment le prouver

Merci encore

Nicolas

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