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Calculs sur un tétraèdre dans l'espace
Bonjour à tous! Pouvez-vous m'aider dans cet exercice?!!Merci d'avance!
Soient a un réel strcitement positif et OABC un tétraèdre tel que:
OAB, AOC et OBC sont des triangles rectangles en O
OA=OB=OC=a.
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, et H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC.
1.Nature de [OH]:
a.Calculer AC,BC,AB et OI en fonction de a.
b. Montrer que (COI) est le plan médiateur de [AB] et en déduire que (OH) est orthogonale à (AB).
c. Montrer qye [OH] est une hauteur du tétraèdre.
2. Calcul de OH:
a. Dessiner le triangle COI en vraie grandeur. ( on prendre a=8cm)
Calculer CI en fonction de a.
b.En déduire que OH=
3. Nature du point H:
a.Montrer que (BC) est orthogonale au plan (OHA)
b.Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
Voilà ce que j'ai fait:
1a) AOC rectangle en O donc: AC²=AO²+OC²+2A² donc AC=a
2.
De même: BC=a2 et AB=a2
Pour OI:
OAC est rectangle,OCB est réctangle et AOB est rectangle donc:
(OC)perpendiculaire à (AO) et (OC) perpendiaculaire à (OA)
Donc (OC) orthogonale à (AOB)
Donc (OC) perpendiculaire à (OI) car (OI)
(AOB).
Donc OIC rectangle en O.
IC²=OI²+OC²
OI²=IC²-OC² or IC²=AC²-AI² ( car (IC)perpen à (AB) donc AIC rect en I)
Donc: OI²=AC²-AI²-OC²
OI²=2a²-a²-AI²=a²-AI²
Or ABC est triangle équilatéral donc la hateur et médiatrice sont confondues donc I est le milieu de [AB].
AI²=AB²/4
donc: OI²=a²-(2a²/4) donc OI²=a²/2 et OI==a/2.
b. Pour le plan médiateur, c'est bon et pour la droite aussi.
c. J'ai une question: à quelle(s) condition(s) [OH] est la hauteur d'un tétraèdre?
2.a: Ici je me dis que je me suis trompé car il met impossible de tracer le triangle en vraie grandeur:s
Avec les calculs: je trouve IC=
b. Je n'y arrive pas.
Pouvez-vous déjà m'aider pour ces questions là?!
Merci d'avance pour votre aide!
Bonsoir,
[OH] est la hauteur du tétraèdre si (OH) est perpendiculaire au plan (ABC)
Question 2a : tu connais la longueur du segment OC
Tu connais la nature de l'angle
Tu connais la longueur du segment OI
Merci Coll c'est super sympas de ta part!
Le problème c'est que on peut pas les tracer les segments, c'est pas juste et mo prof ne veut pas d'arrondis! Je me suis trompé dans mes calculs alors?!
Mais si on peut les tracer.
Soit un carré de côté a
la diagonale (facile à tracer) vaut a2
Et la demi-diagonale vaut (a2)/2 qui est la longueur de OI
lol chouette donc mes calculs sont bons^^
Maintenant pour le calcul de OH, tu peux me donner une piste?!
Ou bien tu travailles dans le triangle OCI et tu sais que OH est hauteur issue de O (triangles semblables, etc.)
Ou bien tu calcules le volume du tétraédre de deux manières :
1) hauteur OC et base OAB
2) hauteur OH et base ABC
Ces deux manières de calculer conduisent au même volume, d'où OH...
Hmmm, bah écoute j'ai envi de comprendre les deux méthodes^^ (c'est mon côté prise de tête
)
hmmm....c'est quoi le volume d'un tétraèdre?
Amen lol désolé ^^
V=(1/3)*(OI*AB/2)*OH
Mais j'ai une question, il y a plusieurs hauteurs dans le tétraèdre, mais elles ont pas toutes la même longueur na?!
Bah oui mais alors tout dépend la base que tu prends? Si je veux que ça soit le triangle AOB et pas ACB,je peux?
Ok pour ABC mais comment tu expliques le choix de OC pour la hauteur dans AOB? moi je vois plutot OI?!:
Je reprends :
1) base du tétraèdre : AOB, alors hauteur du tétraèdre : OC
2) base du tétraèdre : ABC, alors hauteur du tétraèdre : OH
Nous sommes en train de calculer le volume du tétraèdre de deux manières : je t'ai donné la formule. Il s'agit non pas de hauteur de triangle mais de la hauteur du tétraèdre : segment issu du sommet et perpendiculaire à la base.
Ok donc:
Avec 2) V=1/3*aireABC*OH
Mais l'aire de ABC c'est l'aire du triangle ABC? Donc c'est AB*IC/2?
Connais-tu l'aire d'un triangle équilatéral de côté b ?
(Ici b = a2)
Ou connais-tu la longueur de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté b ?
Hmmm je sais que la hauteur d'une triangle équilatéral de côté a c'est a3/2
Ici= a=a2 donc:
IC=a2*3/2 donc IC=a6/2
Mais on devrait pouvoir le retrouver par le calcul? Mais je trouve a3/2!
maintenant
Oki! Mais même avec la formule, je n'arrive pas au résultat demandé :s
Merci pour ton aide, on continuera plus tard! Merci beaucoup Coll!!!
A plus tard!
Pour continuer :
On cherche la longueur du segment OH ; (OH) est la perpendiculaire au plan (ABC) menée par O
première méthode : par la considération des triangles OCI et OHC (probablement la méthode attendue par ton énoncé)
OCH est un triangle rectangle en H et ICO est un triangle rectangle en O ; ils sont semblables (deux triangles rectangles qui ont un angle aigu commun : )
Proportionnalité de segments homologues :
OH / OI = OC / CI
OH = OC . OI / CI
OH = ...
_____________________
deuxième méthode : par le calcul du volume du tétraèdre COAB de deux manières :
1) base OAB, d'aire a2 / 2 et hauteur (du tétraèdre) OC de longueur a
volume : (1/3).(a2 / 2).a = a3 / 6
2) base ABC, d'aire (a23) / 2 et hauteur (du tétraèdre) OH
volume : (1/3).[(a23) / 2].OH
OH = ...
Lol effectivement, la méthode avec les triangles est bien plus aisée^^
Je trouve le bon résultat! Mais je veux qd mm comprendre la méthode avec le volume!
Avec la deuxième méthode j'ai: V= a²3/6 . OH
Et là je dois me servire de a3/6 ou non?
Hmm, j'arrive à trouver OH que lorsque je m'aide des deux méthodes du volume! Mais c'est bon je trouve le résultat demandé avec les deux méthodes!
Pour montrer après que (BC) est orthogonale au plan (OHA), il faut que je montre que (BC) est perpendiculaire à deux droites incluses dans (OHA°? Mais je vois pas trop lesquelles! Peut-êtreque je dois me servir du plan médiateur?
Bien sûr...
Tu calcules le volume et trouves a3 / 6
tu calcules à nouveau le même volume en fonction de OH, ce qui te permet de connaître OH
Ton message de 14 h 16
J'ai répondu pour l'usage indispensable des deux manières de calculer le volume.
(BC) appartient au plan (OBC) : une droite de (OHA) perpendiculaire à ce plan (OBC) ?
(BC) appartient au plan (ABC) : une droite de (OHA) perpendiculaire à ce plan (ABC) ?
Lol oki mais je me disais ça sinon c'était impossible ^^^
(BC) appartient au plan (OBC): et (OA) appartient à (OHA) et est perpendiculaire à (OBC)?
Mais je vois pas de droite appartenant à (OHA) et perpendiculaire à (ABC)? Il y aurait la droite (AH) mais ....
Oui, (OA) est bien orthogonale à (BC)
Une droite du plan (OHA) perpendiculaire au plan (ABC) ?
Quand tu ne trouves pas, un réflexe : cette question suit les précédentes... qu'ai-je démontré précédemment qui peut me servir maintenant...
(OH)?!! Car (OH) appartient au plan médiateur!
Donc (OH) perpen à (BC) et donc (BC) est orthogonale à deux droites de (OHA) et donc elle est orthogonale au plan?
Ok super! Et merci pour le reflex:p c'est le truc qui sert de trop style en DS n'empêche jpense!
Alors pour la dernière: H est l'orthocentre si au moins deux hauteurs passent pas H.
On en a déjà une, maintenant je pense qu'il faut démontrer que AH passe par H?
Mais on vient de dire que (BC) est orthogonale à (OHA) et AH est incluse dans ce plan donc (BC) et perpendiculaire à (AH) et (AH) est donc la hauteur issue de A du triangle ABC. H est donc l'orthocentre de ABC.
C'est bon?
Avec une phrase à changer quand même :
il faut démontrer que AH passe par H ?
(AH) passe par H... ça c'est sûr
Il faut démontrer que AH est la hauteur issue de A
(ce que tu as très bien fait dans les lignes suivantes)
Lol oui oui désolé mdr...Les profs de maths doivent bien rigoler des fois sur nos copies ^^
Bon et bien merci beaucoup encore (encore et encore) une fois Coll lol tu es mon sauveur sur l'île^^
Vraiment merci, les maths paraissent plus faciles qd tu expliques!
A plus tard, bonne journée et encore merciii!
B3n
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