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un polymôme dun troisième degré qui pose problème

Posté par clem (invité) 15-09-04 à 15:00

Voila je dois résoudre : x^3-7x^2+8x-15 = 0 et je bloque un petit peu pouver m'aider merci a bientôt

p.s : ^n veut dire puissance n

Posté par clem (invité)allez une petite aide pour un gentil 1ère S merci 15-09-04 à 15:38

alors personne ne peut m'aider???

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : un polymôme dun troisième degré qui pose problème 15-09-04 à 15:40

Lorsqu'il y a une racine évidente, soit a cette racine, on procède à la division euclidienne du polynôme par (x - a).
On a alors une équation du second degré dont il est facile de trouver les 2 dernières solutions.
-----------------------------------------------------
Quand il n'y a pas de racine évidente, on peut appliquer ce qui suit:
----------------------------

Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle équation du type   x^3 + ax^2 +bx + c = 0.

En posant x = y - \frac{a}{3}, ces équations peuvent être ramenées à la forme :
y^3 + py + q = 0.

3 cas peuvent alors se présenter :

1) (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 > 0
Il y a alors une racine réelle R.
R=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
C1=-\frac{R}{2}+i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}
C2=-\frac{R}{2}-i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}

2) (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3= 0.
Il y a alors une racine double R1 = R2 = -\frac{3q}{2p}.
Il y a aussi une 3ème racine : R3 = \frac{3q}{p}.

3) (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 < 0.
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique.
R1 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3})
R2 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{2\pi}{3})
R3 = \sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{4\pi}{3})
------------------------------------------------------
Applique cette théorie ou utilise une calculette, tu trouveras les solutions:
x = 6,09088700936
x = 0,454556495322 + 1,50202326474 i
x = 0,454556495322 - 1,50202326474 i
-----
Sauf distraction  

Posté par kosak (invité)proposition de solution 26-05-06 à 11:48

salu toi
voila ce que je propose
Cherche un nombre qui annule l'équation en question et tu effectues une division eucludienne.
ensuite tu pourras utiliser le discriminant pour déterminer les racines du polynôme de dégré 2.
(-1) annule l'équation.
Divise cette équation par x+1.

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : un polymôme dun troisième degré qui pose problème 26-05-06 à 13:47

kosak, c'est gentil de chercher à aider clem, mais je ne suis pas sûr qu'il soit toujours là à attendre une autre réponse que celle déjà apportée depuis le 15 septembre 2004

Posté par bauny (invité)autre proposition de solution 11-09-06 à 18:12

salut,
pour pouvoir resoudre les équations du troisieme dégré, il faut d' abord trouver l'ensemble de validité sur lequel l'équation est défini. ensuite on recherce une racine évidente de cette équation. lorsque tu trouves cette racine évidente tu as le choix  de deux methodes pour trouver la solution de l'équation.il y a:
.la division euclidienne qui consiste à diviser la fonction par la racine évidente (ie x^3-7x^2+8x-15 est divisible par x+1 d'où x=-1 est une racine du polynôme)
.ayant trouver la racine évidente, on écrit que: x^3-7x^2+8x-15=(x+1)(ax^2+bx+c)[(ax^2+bx+c) étant un polynôme de second degré]. de là tu developpe la nouvelle écriture de l'équation et tu fais une identification avec "l'équation mère" et là tu trouves facilement les solutions de ton équation.
bon concernant le choix des mthodes, nous te conseillons celui qui te sied le plus.
je te laisse et à plus
bonne chance



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