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Un espace compact est complet.
Posté le 23-05-07 à 22:40
Posté par 
Rouliane Rouliane
Bonjour,
J'essaye de montrer la proposition suivante : "Un espace compact est complet"
démo :
Je veux essayer de montrer que toute suite de Cauchy converge.
Soit)
une suite de Cauchy d'élements de A.
Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de convergente.
je me suis arreté là
Alors :
1°) Est ce que je suis sur la bonne voie ?
2°) ou alors faut-il raisonner d'une toute autre manière, ou utiliser une autre caractérisation de la compacité ?
Merci
Rouliane RoulianeBonjour,
J'essaye de montrer la proposition suivante : "Un espace compact est complet"
démo :
Je veux essayer de montrer que toute suite de Cauchy converge.
Soit
Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de
je me suis arreté là
Alors :
1°) Est ce que je suis sur la bonne voie ?
2°) ou alors faut-il raisonner d'une toute autre manière, ou utiliser une autre caractérisation de la compacité ?
Merci
re : Un espace compact est complet. Posté le 23-05-07 à 22:45
Posté le 23-05-07 à 22:45Posté par Fractal Fractal
Bonjour
Tu ne l'as pas précisé, mais je suppose que l'espace en question est métrique.
Sinon, il me semble bien que tu es sur la bonne voie.
Si on appelle l la limite de la sous-suite convergente de, on devrait pouvoir en déduire (avec des epsilon par exemple) que converge.
Sans garantie
Fractal
Fractal FractalBonjour
Tu ne l'as pas précisé, mais je suppose que l'espace en question est métrique.
Sinon, il me semble bien que tu es sur la bonne voie.
Si on appelle l la limite de la sous-suite convergente de
Sans garantie
Fractal
re : Un espace compact est complet. Posté le 23-05-07 à 23:01
Posté le 23-05-07 à 23:01Posté par robby3 robby3
bonsoir tout les deux,
comme le dit Fractal tu es sur la bonne voie, il s'agit ensuite je pense d'utiliser la caractérisation des compacts avec Bolzano-Weierstrass...on devrait s'en sortir.
A bientot.
robby3 robby3bonsoir tout les deux,
comme le dit Fractal tu es sur la bonne voie, il s'agit ensuite je pense d'utiliser la caractérisation des compacts avec Bolzano-Weierstrass...on devrait s'en sortir.
A bientot.
re : Un espace compact est complet. Posté le 23-05-07 à 23:33
Posté le 23-05-07 à 23:33Posté par Rouliane Rouliane
Merci je vais réfléchir à ça.
Robby, j'utilise déjà la propriété de Bolzano Weierstrass quand je dis "Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de (xn) convergente."
à moins qu'il y en ai une autre ?
Rouliane RoulianeMerci je vais réfléchir à ça.
Robby, j'utilise déjà la propriété de Bolzano Weierstrass quand je dis "Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de (xn) convergente."
à moins qu'il y en ai une autre ?
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 08:41
Posté le 24-05-07 à 08:41Posté par dadou dadou
Bonjour,
je pense qu'il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire.
Si l'on note
))
une sous suite de (u_n) qui converge vers une limite l alors,
}||+||u_{\varphi(n)}-l||)
Ainsi pour
on a pour n assez grand
}-l||<\epsilon/2)
car converge vers l
et
}||<\epsilon/2)
car la suite (un) est de Cauchy.
Ainsi:
des que n est assez grand,
Ce qui signifie que (un) cv vers l
Dadou
dadou dadouBonjour,
je pense qu'il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire.
Si l'on note
une sous suite de (u_n) qui converge vers une limite l alors,
Ainsi pour
on a pour n assez grandet
Ainsi:
des que n est assez grand,
Ce qui signifie que (un) cv vers l
Dadou
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 09:39
Posté le 24-05-07 à 09:39Posté par mouss33 mouss33
bé tu as quasiment fini!
une fois que tu as dit que :Soit (x_n) une suite de Cauchy d'élements de A.
Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de (x_n) convergente.
cette sous suite converge vers une limite l qui converge dans A
on a aussi (x_n) qui converge vers l et donc dans A (car (x_n) est de cauchy et donc n'admet qu'une seule valeur d'adhérence)
donc x_n est de cauchy et converge vers un élément de A = A est complet
mouss33 mouss33bé tu as quasiment fini!
une fois que tu as dit que :Soit (x_n) une suite de Cauchy d'élements de A.
Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de (x_n) convergente.
cette sous suite converge vers une limite l qui converge dans A
on a aussi (x_n) qui converge vers l et donc dans A (car (x_n) est de cauchy et donc n'admet qu'une seule valeur d'adhérence)
donc x_n est de cauchy et converge vers un élément de A = A est complet
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 10:35
Posté le 24-05-07 à 10:35Posté par Rouliane Rouliane
Merci à vous !
j'ai bien compris la démo de dadou, par contre, j'ai du mal avec celle de mouss.
Tu écris : "cette sous suite converge vers une limite l qui converge dans A
on a aussi (x_n) qui converge vers l "
c'est justement toute la difficulté le passage de la convergence de la sous-suite à la convergence de la suite, non ?
Rouliane RoulianeMerci à vous !
j'ai bien compris la démo de dadou, par contre, j'ai du mal avec celle de mouss.
Tu écris : "cette sous suite converge vers une limite l qui converge dans A
on a aussi (x_n) qui converge vers l "
c'est justement toute la difficulté le passage de la convergence de la sous-suite à la convergence de la suite, non ?
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 11:16
Posté le 24-05-07 à 11:16Posté par jeanseb jeanseb
A mon avis, il n'y a pas de nécessité que ce soit un espace métrique. La démonstration est plus générale.
Sauf erreur
jeanseb jeansebCitation :
je suppose que l'espace en question est métrique
je suppose que l'espace en question est métrique
A mon avis, il n'y a pas de nécessité que ce soit un espace métrique. La démonstration est plus générale.
Sauf erreur
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:00
Posté le 24-05-07 à 12:00Posté par mouss33 mouss33
il me semble que comme une suite de cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence, la suite et toutes ses sous suites converge vers la meme limite.
mouss33 mouss33il me semble que comme une suite de cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence, la suite et toutes ses sous suites converge vers la meme limite.
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:02
Posté le 24-05-07 à 12:02Posté par Rouliane Rouliane
Mais une suite peut avoir une seule valeur d'adhérence sans converger, et une sous-suite convergente sans que la suite converge.
non ?
Rouliane RoulianeMais une suite peut avoir une seule valeur d'adhérence sans converger, et une sous-suite convergente sans que la suite converge.
non ?
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:03
Posté le 24-05-07 à 12:03Posté par mouss33 mouss33
la on est dans le cas des suites de cauchy!
voici un théorème du cours :Une suite de Cauchy est convergente si et seulement si elle a une valeur
d'adhérence.
mouss33 mouss33la on est dans le cas des suites de cauchy!
voici un théorème du cours :Une suite de Cauchy est convergente si et seulement si elle a une valeur
d'adhérence.
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:08
Posté le 24-05-07 à 12:08Posté par jeanseb jeanseb
Elle peut ne pas en avoir dans l'ensemble considéré. Prends une suite de rationnels tendant vers
, elle est de Cauchy dans Q mais pas convergente.
Oui: (-1)n
jeanseb jeansebCitation :
il me semble que comme une suite de cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence
il me semble que comme une suite de cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence
Elle peut ne pas en avoir dans l'ensemble considéré. Prends une suite de rationnels tendant vers
Citation :
et une sous-suite convergente sans que la suite converge.
et une sous-suite convergente sans que la suite converge.
Oui: (-1)n
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:08
Posté le 24-05-07 à 12:08Posté par mouss33 mouss33
par contre dans le cas générale, si une sous suite converge vers une limite l alors ce n'est pas nécéssaire que la suite converge vers l
mouss33 mouss33par contre dans le cas générale, si une sous suite converge vers une limite l alors ce n'est pas nécéssaire que la suite converge vers l
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:12
Posté le 24-05-07 à 12:12Posté par mouss33 mouss33
ma démonstration est-elle valable jeanseb? (je vais à la douche, je reviens dans 10 minutes)
mouss33 mouss33ma démonstration est-elle valable jeanseb? (je vais à la douche, je reviens dans 10 minutes)
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:16
Posté le 24-05-07 à 12:16Posté par Rouliane Rouliane
merci, je connaissais pas ce théorème !
salut Jeanseb
Rouliane RoulianeCitation :
voici un théorème du cours :Une suite de Cauchy est convergente si et seulement si elle a une valeur
d'adhérence.
voici un théorème du cours :Une suite de Cauchy est convergente si et seulement si elle a une valeur
d'adhérence.
merci, je connaissais pas ce théorème !
salut Jeanseb
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:18
Posté le 24-05-07 à 12:18Posté par Rodrigo Rodrigo
La complétude est une notion métrique et pas topologique, il faut se placer dnas un métrique pour pouvoir parler de suite de cauchy. Donc oui tu es necessairement dans un espace métrique.
Remarque au passage dans un métrique compact une suite converge ssi elle n'a qu'une valeur d'adhérence.
Rodrigo RodrigoLa complétude est une notion métrique et pas topologique, il faut se placer dnas un métrique pour pouvoir parler de suite de cauchy. Donc oui tu es necessairement dans un espace métrique.
Remarque au passage dans un métrique compact une suite converge ssi elle n'a qu'une valeur d'adhérence.
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 12:20
Posté le 24-05-07 à 12:20Posté par mouss33 mouss33
voici la démo de ce théorème :
Il est clair qu'une suite convergente a une valeur d'adhérence, sa limite.
Inversement, si la suite de Cauchy (x_n) a une valeur d'adhérence a, montrons qu'elle
converge vers a.
Soit
> 0. Il existe un entier m tel que, pour n et p supérieurs à m, on ait
d(x_n, x_p) </2.
Puisque a est une valeur d'adhérence de la suite, il existe un p > m tel que d(x_p, a) </2.
Alors, pour n > m on a
d(x_n, a)
d(x_n, x_p) + d(x_p, a) < /2 + /2 =
ce qui montre que la suite (x_n) converge vers a.
mouss33 mouss33voici la démo de ce théorème :
Il est clair qu'une suite convergente a une valeur d'adhérence, sa limite.
Inversement, si la suite de Cauchy (x_n) a une valeur d'adhérence a, montrons qu'elle
converge vers a.
Soit
> 0. Il existe un entier m tel que, pour n et p supérieurs à m, on ait d(x_n, x_p) <
/2.Puisque a est une valeur d'adhérence de la suite, il existe un p > m tel que d(x_p, a) <
/2.Alors, pour n > m on a
d(x_n, a)
d(x_n, x_p) + d(x_p, a) < /2 + /2 = ce qui montre que la suite (x_n) converge vers a.
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 13:13
Posté le 24-05-07 à 13:13Posté par Rouliane Rouliane
Pour etre sur que ce soit clair, on raisonne donc comme ça :
Soit une suite de Cauchy de A.
Alors il existe une sous-suite}))
qui converge vers l dans A.
l est donc une valeur d'adhérence de la suite.
Or toute suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence converge, donc la suite converge.
C'est bien ça ?
Rouliane RoulianePour etre sur que ce soit clair, on raisonne donc comme ça :
Soit
Alors il existe une sous-suite
l est donc une valeur d'adhérence de la suite
Or toute suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence converge, donc la suite
C'est bien ça ?
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 13:25
Posté le 24-05-07 à 13:25Posté par Laurierie Laurierie
Salut: on peut même dire que (xn) converge vers cette valeur d'adhérence. Or elle apartient bien à l'espace par compacité donc cet espace est complet.
Laurierie LaurierieSalut: on peut même dire que (xn) converge vers cette valeur d'adhérence. Or elle apartient bien à l'espace par compacité donc cet espace est complet.
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 13:43
Posté le 24-05-07 à 13:43Posté par mouss33 mouss33
moi c'est comme ca en gros que j'ai rédigé à mon épreuve de partiel de topologie ( on devait montrer que un espace compact est complet!)
mis a part que j'ai pas cité le fait que
toute suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence converge
mouss33 mouss33moi c'est comme ca en gros que j'ai rédigé à mon épreuve de partiel de topologie ( on devait montrer que un espace compact est complet!)
mis a part que j'ai pas cité le fait que
toute suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence converge
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 13:44
Posté le 24-05-07 à 13:44Posté par mouss33 mouss33
voici une autre démo que j'ai trouver sur le net :
Soit E un espace métrique compact. Si (x_n) est une suite de Cauchy
de E, elle a au moins une valeur d'adhérence dans E, donc elle est convergente.
bon la j'avoue cette démo est un peu rapide!
mouss33 mouss33voici une autre démo que j'ai trouver sur le net :
Soit E un espace métrique compact. Si (x_n) est une suite de Cauchy
de E, elle a au moins une valeur d'adhérence dans E, donc elle est convergente.
bon la j'avoue cette démo est un peu rapide!
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 13:44
Posté le 24-05-07 à 13:44Posté par Rouliane Rouliane
question toute bete : la limite d'une suite est forcément valeur d'adhérence ?
Rouliane Roulianequestion toute bete : la limite d'une suite est forcément valeur d'adhérence ?
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 14:02
Posté le 24-05-07 à 14:02Posté par fusionfroide fusionfroide
Au fait, d'après mon cours : une suite convergente ne possède que sa limite comme valeur d'adhérence.
fusionfroide fusionfroideAu fait, d'après mon cours : une suite convergente ne possède que sa limite comme valeur d'adhérence.
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 14:21
Posté le 24-05-07 à 14:21Posté par Rouliane Rouliane
Salut FF,
J'ai pas pu passer l'agrégation j'étais malade toute la semaine
Mais je regrette pas parce que y'a que l'analyse qui m'intéressait à l'époque et c'était vraiment hardcore !
Sinon, ma question est idiote, vu que si la suite (un) converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l ce qui équivaut à l valeur d'adhérence
t'en es où toi FF ? exams ?
Rouliane RoulianeSalut FF,
J'ai pas pu passer l'agrégation j'étais malade toute la semaine
Mais je regrette pas parce que y'a que l'analyse qui m'intéressait à l'époque et c'était vraiment hardcore !
Sinon, ma question est idiote, vu que si la suite (un) converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l ce qui équivaut à l valeur d'adhérence
t'en es où toi FF ? exams ?
re : Un espace compact est complet. Posté le 24-05-07 à 15:21
Posté le 24-05-07 à 15:21Posté par fusionfroide fusionfroide
ok
Moi j'ai passé "mesure et intégration" et "variable complexe" cette semaine !
ET maintenant je suis en vacances jusque septembre
fusionfroide fusionfroideok
Moi j'ai passé "mesure et intégration" et "variable complexe" cette semaine !
ET maintenant je suis en vacances jusque septembre
re : Un espace compact est complet. Posté le 25-05-07 à 22:41
Posté le 25-05-07 à 22:41Posté par fusionfroide fusionfroide
mouss >> pourquoi dis-tu que tu passeras les rattrapages ? Ca ne s'est pas bien passé ?
Rouliane >> j'espère et je n'aime pas pronostiquer là-dessus au risque de stresser
fusionfroide fusionfroidemouss >> pourquoi dis-tu que tu passeras les rattrapages ? Ca ne s'est pas bien passé ?
Rouliane >> j'espère et je n'aime pas pronostiquer là-dessus au risque de stresser
un espace compact est complet Posté le 26-05-07 à 16:54
Posté le 26-05-07 à 16:54Posté par Senghor hady (invité)
je suppose qu'on est dans un espace metrique.
Si (xn) est une suite de cauhcy dans un espace métrique compact alors elle admet une valeur d'adhérence et par suite cette suite converge vers cette valeur.il en résulte que l'espace est complet
je suppose qu'on est dans un espace metrique.
Si (xn) est une suite de cauhcy dans un espace métrique compact alors elle admet une valeur d'adhérence et par suite cette suite converge vers cette valeur.il en résulte que l'espace est complet
re : Un espace compact est complet. Posté le 26-05-07 à 17:04
Posté le 26-05-07 à 17:04Posté par Rouliane Rouliane
Merci Senghor
je sais pas ce qu'ils ont tous à répondre à mes posts avec 3 jours de retard
Rouliane RoulianeMerci Senghor
je sais pas ce qu'ils ont tous à répondre à mes posts avec 3 jours de retard
re : Un espace compact est complet. Posté le 26-05-07 à 19:44
Posté le 26-05-07 à 19:44Posté par Rouliane Rouliane
pour redevenir un peu plus sérieux comment montre-t-on qu'une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence ?
Rouliane Roulianepour redevenir un peu plus sérieux
comment montre-t-on qu'une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence ? re : Un espace compact est complet. Posté le 26-05-07 à 19:56
Posté le 26-05-07 à 19:56Posté par kaiser kaiser 
Salut à tous
Rouliane > Suppose par l'absurde l'existence de deux valeurs d'adhérence a et b. Ensuite, utilise le fait que la suite est de Cauchy avec
bien choisi (fais un dessin) pour aboutir à une contradiction.
Kaiser
kaiser kaiser Salut à tous
Rouliane > Suppose par l'absurde l'existence de deux valeurs d'adhérence a et b. Ensuite, utilise le fait que la suite est de Cauchy avec
Kaiser
re : Un espace compact est complet. Posté le 26-05-07 à 21:09
Posté le 26-05-07 à 21:09Posté par mouss33 mouss33
pour répondre a fusion froide : mes partiels se sont très mal pacées!
c'est pas grave la fac c'est cool, j'y retournerais fin juin pour la 2ième session!
mouss33 mouss33pour répondre a fusion froide : mes partiels se sont très mal pacées!
c'est pas grave la fac c'est cool, j'y retournerais fin juin pour la 2ième session!
re : Un espace compact est complet. Posté le 26-05-07 à 21:30
Posté le 26-05-07 à 21:30Posté par robby3 robby3
(on ira ensemble...ta commencé à réviser?
moi en ce moment désolé mais vraiment beaucoup de problemes...c'est pour ça que je t'appel pas!)
robby3 robby3(on ira ensemble...ta commencé à réviser?
moi en ce moment désolé mais vraiment beaucoup de problemes...c'est pour ça que je t'appel pas!)
re : Un espace compact est complet. Posté le 27-05-07 à 11:25
Posté le 27-05-07 à 11:25Posté par mouss33 mouss33
non j'ai pas commencé.
je viens juste sur l'ile faire des maths mais de niveau lycée.
j'aime pas m'y prendre trop à l'avance pour revoir.
d'autent plus que j'aimerais avoir mes notes avant de commencer à réviser.
mouss33 mouss33non j'ai pas commencé.
je viens juste sur l'ile faire des maths mais de niveau lycée.
j'aime pas m'y prendre trop à l'avance pour revoir.
d'autent plus que j'aimerais avoir mes notes avant de commencer à réviser.
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