JFF_persistance mathîlienne

Posté par lo5707 lo5707

bonjour à tous.

Il m'est venu à l'idée de "mixer" une de mes ancienne JFF (addition mathîlienne -> )
avec un principe ayant fait l'objet d'énigmes en partie sur ce site: la persistance multiplicative (-> )

Petits rappels par facilité:

addition mathîlienne: (notée §) Cela consiste à additionner la somme et le produit de 2 nombres. Ex: 3§7 = 3*7 + 2+7 = 30

persistance multiplicative: Il s'agit du nombre d'étapes nécessaires pour qu'un nombre soit réduit à un seul chiffre.
Chaque étape consiste à multiplier les chiffres qui forment ce nombre. Ex: 39 -> (3*9=27) 27 -> (2*7=14) 14 -> (1*4=4) 4.  
39 a une persistance multiplicative de 3.


Ici, la persistance mathîlienne est donc le nombre d'étapes nécessaires pour qu'un nombre soit réduit à un chiffre,
les étapes consistant à faire l'addition mathîlienne entre les chiffres formant le nombre.

ex: 28 -> (2§8=26) 26 -> (2§6=20) 20 -> (2§0=2) 2
28 a une persistance mathîlienne de 3.


Question: Pour k allant de 1 à 6, trouvez le plus petit nombre ayant une persistance mathîlienne de k.


Question subsidiaire: Certains nombres ont une particularité: Ils ont une persistance mathîlienne infinie.
ex: 19 -> 19 -> 19 -> ...
      34 -> 19 -> 19 -> ...
Appelons degré le nombre d'étapes avant d'obtenir le nombre se répétant.
19 a une persistance mathîlienne infinie de degré 0
34 a une persistance mathîlienne infinie de degré 1

Trouvez le plus petit nombre ayant une persistance mathîlienne infinie de degré 4.


Bonne recherche.
Merci de blanker vos réponses.

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Posté par lo5707 lo5707

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Re,

Posté par lo5707 lo5707

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Posté par cailloux cailloux

Je me demande si on est d' accord sur la définition de l' addition mathîlienne quand le nombre de chiffres est plus grand que 2:



Un nombre de 3 chiffres, par exemple, abc donne a.b.c+a+b+c; c' est comme cela que je l' ai compris. Suis-je dans l' erreur ?

Posté par lo5707 lo5707

Ah oui, tu dois d'abord faire l'opération entre les 2 premiers, puis avec le 3ème: (a§b)§c  (ou le contraire, elle est associative)

tu conprendras mieux si tu vas voir la JFF en question

Posté par cailloux cailloux



D' accord, mais ça ne s' invente pas. (Je n' étais pas allé voir les liens )

Posté par lo5707 lo5707

c'est juste, j'ai pas pensé à le préciser... au temps pour moi

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,
voilà les réponses:

Pour la méthode, j'ai fais ça plus ou moins à la main, en m'aidant un peu d'Excel
On pouvait utiliser le résultat à la fin de l'ancienne JFF: (a§b)§c = (a+1)(b+1)(c+1)-1  et se servir des diviseurs.

On a:
k=1: 10 -> 1
k=2: 15 -> 11 -> 3
k=3: 17 -> 15 -> 11 -> 3
k=4: 18 -> 17 -> 15 -> 11 -> 3
k=5: 66 -> 48 -> 44 -> 24 -> 14 -> 9
k=6: 268 -> 188 -> 161 -> 27 -> 23 -> 11 -> 3

_{je n'en ai pas trouvé au delà de k=6...}

pour la subsidiaire:
deg 0: 19 -> 19 -> ...
deg 1: 34 -> 19 -> 19 -> ...
deg 2: 46 -> 34 -> 19 -> 19 -> ...
deg 3: 177 -> 127 -> 47 -> 39 -> 39 -> ...
deg 4: 189 -> 179 -> 159 -> 119 -> 39 -> 39 -> ...

voilà.


merci cailloux pour ta participation