Bonjour Rouliane

Moi, je ne comprends pas trop ta question. On parle d'intégrabilité sur un intervalle, même si on commet parfois des abus de language. S'il s'agit d'intégrale impropre du type
la valeur en 0 ne compte pas, et par définition



et la limite est infinie.

Bonjour,

En fait je viens de lire sur un document que cette fonction n'est pas localement intégrable en 0. ( j'avais oublié le localement )

ca se rapproche avec un autre post que j'avais ouvert, où on a montré avec kasier que la fonction définie par g(x)=ln(|x|) et g(0)=0 est, elle, localement intégrable en 0.

Je ne comprends donc pas pourquoi g serait localement intégrable en 0 et pas f, alors que le problème est le même.

Je n'ai pas de grandes lumières sur le localement intégrable. Mais avec des connaissances élémentaires


et ceci a bien une limite quand x tend vers 0₊. Le cas négatif se traite à peu près de la même manière.

J'espère parler de la bonne notion!

ah oui, merci !

Par contre, il me semblait que l'existence de la limite ne permettait pas de justifier de l'intégrabilité : ça permet de justifier de la convergence de l'intégrale, mais on n'a pas : ( intégrale convergente => fonction intégrable )
( suffit de prendre l'exemple de sin(x)/x )

Mais bon, je suis pas calé la dessus, je ne maitrise pas trop ces notions là.

Et en utilisant le critère d'intégrabilité de Riemann pour cette fonction ?

C'est possible; c'est pourquoi j'ai pris des précautions "oratoires" (enfin, scripturales, puisque c'est par écrit). Ceci étant dit, pour des fonctions de signe constant ça m'étonnerait qu'intégrale convergente n'entraine pas l'intégrabilité, mais je ne sais vraiment pas grand chose en intégration.

Bonjour dadsy,

effectivement je pense qu'il suffit d'utiliser ça, je crois que je me prend la tet pour rien ( encore plus pour le ln car on a ln(t)=o(1/(t) )

en fait c'est la condition supplémentaire en 0 ( g(0)=0 ) qui me perturbe.

Je remonte ce topic pour poser une question par rapport aux distributions.

Je veux montrer que toute fonction définit une distribution en posant :



je sais pas si ma démo est la bonne, mais je dirais que pour tout compact K inclus dans , f est intégrable donc bornée ( |f|< M ).

On a donc   (*)

Or

D'où . Si je me place dans R, la constante sera b-a si je note le compact [a,b].
Mais si je me place dans , que vaut cette constante ?

Donc finalement :

- est ce que l'idée de la démo est là ?

- Est ce que dans (*) c'est correct de majorer en considérant l'intégrale sur K ?

Merci

up

Salut,

majore plutot par l'intégrale de f sur K et en majorant phi.

Merci à Cauchy et kaiser, je vais réfléchir à ça, ça me paraissait bizarre l'argument borné

FF, par définition de l'intégrabilité, c'est l'intégrale de |f| et non de f !

ah exact quel boulet !

Merci

En fait je confondais avec l'intégrale de Lebesgue et j'étais resté dans les fonctions mesurables positives.

Car, on dit que mesurable positive est m-intégrable si

En plus, pour f : S->C, f m-intégrable équivaut à |f| m-intégrable.

Bref j'ai tout confondu

mais c'est pas bien grave

oui mais ça me vexe

Sinon j'ai pas suivi toute l'affaire, mais est-ce que tu parlais de fonction localement Riemann-intégrable sur [a,b[ par exemple ?

Ben là on parle de fonction localement intégrable sur un ouvert de R je crois

Pour revenir à l'exo je dis que :



Et comme f est localement intégrable, est finie donc vaut par exemple ( cette valeur dépend du compact )

Donc finalement, on a .

C'est bon cette fois ou pas ?

oui, c'est bon (tu as simplement oublié de mettre le K en indice dans la première intégrale, ce que tu as fais ensuite).

Kaiser

d'accord, merci !

re,

Je voudrais montrer que c'est une distribution mais en passant par la suite qui tend vers 0.


On suppose donc que tend vers 0.
On va montrer que tend vers 0.

C'est là que ça coince : je voudrais me placer sur un compact K et majorer par le sup des .

Dans ce cas là c'est réglé.
Mais justement, si tend vers 0, j'ai toujours que le sup des tend vers 0, non ?
Je peux donc me placer sur n'importe quel compact ?  

non en fait, il faut que je me place dans un support K tel que pour tout n c'est ça ?

mais le sup des qui tend vers 0, ça c'est vrai peu importe où l'on se place ?

plutot le support des inclus dans K ( pour tout n )

salut!en fait pour montrer que log /x/ est localement integrable vous etes pas obliger à montrer que/log/x//<il suffirat de prouver que log/x/ existe ,bn je sais pas grand chose mais notre professeur l'a fait dans son cour