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Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide

   
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secondeExercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide

#msg1155864 Posté le 02-06-07 à 19:50
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Bonjour

Je voudrais savoir si mes réponses à cet exercice sont bonnes:

SABCD est une pyramide à base carrée dont toutes les arêtes sont de longueur l, O est le centre de ABCD et [OS] est la hauteur de cette pyramide;
E, F, G et H sont les milieux respectifs des segments [SA], [SB], [SC] et [SD]. (voir schéma)

{\color{Red}1)} Répondre par vrai ou faux et justifier:
1-(SO) \perp (BC)
2-(AS) \perp (DC)
3-(AS) \perp (SC)
4-(AB) \perp (FG)
5-(CS) \perp (BG)
6-(AG) \perp (SC)
7-(OB) \perp (SAC)
8-(SC) \perp (BDG)
9-(SC) \perp (ABG)

Mes réponses:
1-{\color{Blue}Vrai:} (SO) \perp (OBC) et (BC) est une droite de ce plan.

2-{\color{Blue}Faux:} (AB) n'est pas perpendiculaire à (AS).

3-{\color{Blue}Vrai:} D'après la réciproque du théorème de Pythagore pour l = 1, on a:
AD^2 + AC^2 = 2
AC^2 = 2
AC = \sqrt 2
AD + AC = \sqrt 2
AC = AD + AC
Le théorème de Pythagore est vérifié donc le triangle ASC est rectangle en S.

4-{\color{Blue}Faux:} Les droites (AB) et (FG) sont situées dans deux plans parallèles.

5-{\color{Blue}Vrai:} Dans le triangle équilatéral BSC avec G le milieu [SC], [BG] est la bissectrice issue de B, la médiatrice issue de B, la hauteur issue de B et la médiane issue de B du segment [BG] avec [BG] \perp [CS].

6-{\color{Blue}Faux:} [AG] et [BG] sont sécantes en G alors qu'elles devraient être parallèles ou confondues pour que (AG) soit orthogonale à (SC).

7-{\color{Blue}Vrai:} O est le centre de symétrie de ABCD et A, O, C sont alignés. (SO) \in (SAC) et (SO) \perp (OCB). Puisque (OB) et (SO) sont sécantes en O et que (SO) \perp (OCB) alors (SAC) \perp (OB) .

8-{\color{Blue}Vrai:} (BG) \in (BDG) et on a vu que (BG) \perp (SC). Si une droite est perpendiculaire à une droite d'un plan alors cette droite est perpendiculaire à ce plan.

8-{\color{Blue}Faux:} (SC) \in (ABG)


{\color{Red}2)}1/ Compléter (mes réponses sont en italique):

a- L'aire du carré EFGH est égale au quart de l'aire du carré ABCD.
b- Le volume de la pyramide SEFGH est égal au huitième du volume de la pyramide SABCD.
c- Le volume de la pyramide SOAB est égal au quart du volume de la pyramide SABCD.

2/ Exprimer le volume du solide de sommets OBCO'FG comme fraction du volume de SABCD; calculer le volume de SABCD et en déduire que le volume de OBCO'FG est \frac{7 \sqrt 2}{192}.

On démontre avec le théorème de Pythagore que AO = OB = SO = 1/sgrt 2

Le volume V_1 de SABCD est
V1 = \frac{1}{3} B_1 h_1 avec B_1 l'aire de ABCD et h_1 = SO

On a donc:
V1 = \frac{1}{3 \sqrt 2} = \frac{\sqrt2}{6}

Le volume de SEFGH est
V_2 = \frac{1}{3} B_2 h_2 avec B_2 l'aire de EFGH et h_2 = SO'

On a donc:
V_2 = \frac{1}{24 \sqrt 2} = \frac{V_1}{8}

Le volume V_3 de OBCGO'F est \frac{V_1 - V_2}{4}
V1 - V2 = \frac{8}{24 \sqrt 2} - \frac{1}{24 \sqrt 2} = \frac{7}{24 \sqrt 2}

V_3 = \frac{V_1 - V_2}{4} = \frac{7}{96 \sqrt 2} = \frac{7 \sqrt 2}{96 \times 2} = \frac{7 \sqrt 2}{192}

On a donc:
{\color{Blue}V_3 = \frac{7}{32} V_1}
_________________________________________________________________

Merci de bien vouloir vérifier ce long exercice.

A bientôt

Sylvain

Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155900 Posté le 02-06-07 à 20:28
Posté par Omarage (invité)

ben je vois ta réponse a la 2 n'a rien avoir avec la question...
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155901 Posté le 02-06-07 à 20:31
Posté par Profilborneo borneo

Bonjour,

félicitation pour ta présentation, elle est magnifique  
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155903 Posté le 02-06-07 à 20:31
Posté par Omarage (invité)

boujour aussi désolé
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155915 Posté le 02-06-07 à 20:39
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Bonsoir

Citation :
ta réponse a la 2 n'a rien avoir avec la question


De quelle question 2 parlez-vous ?

La partie 2 (chiffre rouge) deuxième question ?

Si oui, la réponse est (il me semble) l'avant-dernière ligne du calcul pour démontrer la valeur donnée dans la question, et la ligne en bleu pour calculer le volume en fraction du volume de SABCD.

Il y a une erreur de frappe dans le code Latex de la ligne:
Citation :
On démontre avec le théorème de Pythagore que AO = OB = SO = \sgrt 2


Il faut lire AO = OB = SO = \sqrt 2

Pouvez-vous m'expliquer l'erreur de la question 2) ?

Merci d'avance

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155916 Posté le 02-06-07 à 20:41
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Bonsoir Borneo

Nos messages se sont croisés. Ma représentation est en fait scannée de mon livre (et retouchée de manière à être sur fond blanc).

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155920 Posté le 02-06-07 à 20:45
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Bonjour,

je crois que borneo ne parle pas de ton image, mais du texte que tu as tapé ... en effet, beau travail !

Omarage >> de quelle question 2 parles-tu ??
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155921 Posté le 02-06-07 à 20:46
Posté par Omarage (invité)

je parle de la 1)-2 il y a marqué si (AS) perpendiculaire a (DC) et toi tu réponds par:
(AB) n'est pas parpendiculaire a (AS)
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155923 Posté le 02-06-07 à 20:46
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

J'ai tapé le texte en Latex, car c'est plus lisible pour la personne qui lit le message sans voir l'exercice.

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155924 Posté le 02-06-07 à 20:47
Posté par Omarage (invité)

sa veux dire quoi en Latex?
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155925 Posté le 02-06-07 à 20:48
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Ce sont des codes. Regarde ici:


Sauf qu'il faut mettre entre et au lieu de "maths".

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155926 Posté le 02-06-07 à 20:49
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Omarage >> je trouve que sa justification est bonne ...

En effet : (AS) et (AB) ne sont pas perpendiculaires, donc comme (AB) est parallèle à (DC), alors (AS) n'est pas orthogonale à (AS).

Car : 2 droites sont orthogonales s'il existe une parallèle à l'une qui soit perpenducliare à l'autre.

Il est vrai que la justification pourrait être plus détaillé, mais l'idée est là !
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155927 Posté le 02-06-07 à 20:49
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Ce que je voulais mettre n'est pas passé: il faut mettre les balises tex   /tex (les 2 entre crochets et l'expression au milieu)
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155928 Posté le 02-06-07 à 20:50
Posté par Omarage (invité)

voila merci jamo tu me rejoins a 100 cent pour cent
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155929 Posté le 02-06-07 à 20:51
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Bonsoir jamo

En fait il faut que j'ajoute des phrases explicatives ou des étapes de calcul en plus ?
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155931 Posté le 02-06-07 à 20:53
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Omarage >> non, justement, je ne te rejoins pas, puisque je dis le contraire de ce que tu as annoncé

sylvain >> poru l'exercice 1, il n'y aucun calcul, mais il est vrai que tu pourrais justifer en faisant des phrases. Mais si tu as compris, je pense que tu arriveras à le faire ...
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155932 Posté le 02-06-07 à 20:56
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

D'accord, je vais ajouter des phrases pour l'exercice 1, mais je parlais du 2 par erreur. En fait, à chaque fois, nos messages se sont croisés, je n'ai donc pas tout vu tout de suite. Si tout le reste est bon, merci pour votre aide.

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155934 Posté le 02-06-07 à 20:58
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Non, je n'ai pas encore regardé le reste ...

Attend, je vais déjà lire ce que tu as fais pour l'exercice 1 et te dire si tes réponses sont correctes ...
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155936 Posté le 02-06-07 à 20:59
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

D'accord, je ne savais pas
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155938 Posté le 02-06-07 à 21:00
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

1 : OK

2 : OK

3 : OK, mais il y a quelques erreurs dans tes calculs, tu n'as pas pris les bons côtés pour justfier, je pense que tu corrigeras facilement
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155941 Posté le 02-06-07 à 21:02
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

4 : non, je ne suis pas d'accord ... (AB) et (FG) sont bien orthogonales, car (AB) est perpendiculaire à (BC) et (BC) est parallèle à (FG)
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155944 Posté le 02-06-07 à 21:05
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

5 : OK

6 : OK pour la réponse, mais pour justfier, je dirais plutot que le triangle SAC n'est pas isocèle en A, donc la médiane (AG) n'est pas perpendiculaire à [SC]
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155945 Posté le 02-06-07 à 21:05
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Je vois. Ca fait donc:
AD^2 + DC^2 = 2
Et les 2 dernières lignes:
AD + DC = \sqrt 2
AC = AD + DC

Et cela fait la relation de Chasles.

Merci pour votre aide

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155948 Posté le 02-06-07 à 21:07
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Le dernier message est pour le 3.
4- D'accord, j'ai compris
6- D'accord, je vais justifier comme ça.

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155954 Posté le 02-06-07 à 21:09
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

7 : OK

8 : OK pour la réponse mais ta justfication est incorrecte

Tu dis : "Si une droite est perpendiculaire à une droite d'un plan alors cette droite est perpendiculaire à ce plan"

C'est faux !!

Il faut qu'une droite soit perpendiculaires à 2 droites d'un plan.

On a démontré que (SC) est orthogonale à (BG), tu n'as qu'à rajouter que de la même manière (SC) est orthogonale à (DG), et voilà !
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155955 Posté le 02-06-07 à 21:11
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Voilà, je pense que maintenant avec vos rectifications c'est bon.

Merci pour votre aide

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155956 Posté le 02-06-07 à 21:11
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Pour la 3 : non, tu n'as pas le droit de dire que AD+DC est égal à V(2), ce n'est pas vrai en vecteurs !!

Par contre, tu n'as qu'à dire que AC est bien égal à V(2), et ensuite, tu considères le triangle SAC et tu montres qu'il est rectangle avec la réciproque de Pythagore.
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155961 Posté le 02-06-07 à 21:14
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Je ne savais pas qu'on parlait de vecteurs pour cette question.
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155964 Posté le 02-06-07 à 21:23
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Justement, il ne faut pas passer par les vecteurs. Tu utilises la relation de Chasles, qui ne marche que pour des vecteurs, pas pour des longueurs. C'est pour ça que je disais que ta justification est incorrecte.
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155965 Posté le 02-06-07 à 21:24
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

D'accord, je pensais que la relation de Chasles s'appliquait partout.
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1155969 Posté le 02-06-07 à 21:29
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Ah non, uniquement en vecteurs !

Prends un triangle ABC.

3$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} : OUI (relation de Chasles)

mais :

AB+BC=AC : NON !! Sauf si le point C appartient au segment [AC]
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156273 Posté le 03-06-07 à 11:13
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Bonjour

Merci pour toutes vos réponses

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156283 Posté le 03-06-07 à 11:20
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Ok de rien ...

Mais je n'ai toujours pas vérifié l'exercice 2 ...
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156305 Posté le 03-06-07 à 11:49
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

D'accord, j'attends vos réponses.

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156330 Posté le 03-06-07 à 12:13
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Exercice 2

1a, 1b, 1c : OK
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156347 Posté le 03-06-07 à 12:22
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Exercice 2

Tu trouves le bon résultat, donc c'est juste, mais je n'ai pas l'impression que tu as répondu aux questions dans l'ordre.

On demande avant de trouver la relation entre les 2 volumes, puis d'en déduire le volume demandé en utilisant le volume de la grande pyramide.
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156355 Posté le 03-06-07 à 12:27
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Merci pour votre aide. Je suis en train de recopier, et je me demande quelque chose pour l'exercice \red1), question 3-: (avec toutes les corrections, je ne m'y retrouve plus)

Je dois donc mettre:
\blue Vrai:
D'après la réciproque du théorème de Pythagore appliqué au triangle SAC pour \scrL = 1, on a:
AC^2 = 2 \\ AS^2 = SC^2 = \scrL = 1 \\ AS^2 + SC^2 = 2 \\ AC = \sqrt 2 \\ AS + SC = \sqrt 2 \\ AC = AS + SC

Le triangle SAC est donc rectangle en S. Par suite, on a (AS) \perp (SC).

Je pense que c'est ça.

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156360 Posté le 03-06-07 à 12:29
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Non, tu continues d'écrire que AS+SC=AC ... c'est faux !!

Tu écris encore la même chose ...
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156361 Posté le 03-06-07 à 12:30
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Citation :
Tu trouves le bon résultat, donc c'est juste, mais je n'ai pas l'impression que tu as répondu aux questions dans l'ordre.


Il faut donc que j'inverse les résultats des deux dernières lignes (mettre la ligne en bleu avant la dernière ligne en noir) ?
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156366 Posté le 03-06-07 à 12:31
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

Nos messages se sont encore croisés. Comment puis-je donc terminer la réciproque du théorème de Pythagore ?
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156382 Posté le 03-06-07 à 12:54
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Dans le triangle ABC rectangle en B, tu calcules AC par Pythagore : OK

Ensuite, tu considères le triangle SAC. Tu vérifies que SA²+SC² est bien égal à AC², et tu conclus donc que SAC est rectangle en S, d'après la réciproque de Pythagore.
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156384 Posté le 03-06-07 à 12:56
Posté par Profilsylvain du CNED sylvain du CNED

C'est vrai, je mes suis complètement trompé, j'aurais dû rester aux valeurs aux carré.

Merci

Sylvain
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1156397 Posté le 03-06-07 à 13:07
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Ok
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1548094 Posté le 03-01-08 à 14:44
Posté par punky (invité)

salut moi j'ai la meme pyramide sauf qu'on me demande de calculer le volume de la pyramide sachant que AB=30 cm SO= 18 cm et SO' (dans la pyramide efgh ) = 6 cm.
et on me demande de calculer le volume de la pyramide SABCD et j'ai trouver 5400 cm cube en faisant :
((30*30)*18)/3 je voudrai savoir si c'est juste ?

ensuite on me demande dans déduire le volume de SEFGH mais la j'ai rien trouver
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1549294 Posté le 03-01-08 à 17:43
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

Bonjour punky,

oui, ton calcul du volume de la pyramide SABCD est bon.

Ensuite, il a été montré que le volume de la pyramide SEFGH est égal à un huitième du volume de SABCD ...
re : Exercice sur l'orthogonalité des droites dans une pyramide#msg1549602 Posté le 03-01-08 à 18:38
Posté par punky (invité)

merci jamo

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