:*: Défi Arithmétique : un carré parfait :*:

 Cliquez pour afficher

 Cliquez pour afficher

PGCD(c,ab)=PGCD(c,a)*PGCD(c,b)/PGCD[PGCD(c,a);PGCD(c,b)]. Mais, comme a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble alors PGCD[PGCD(c,a);PGCD(c,b)]=1 soit PGCD(c,ab)=PGCD(c,a)*PGCD(c,b).

Aussi, donc PGCD(c,ab)=c. Ainsi, c=PGCD(c,a)*PGCD(c,b).

De même, a=PGCD(a,b)*PGCD(a,c) et b=PGCD(b,a)*PGCD(b,c). Ainsi,

 Cliquez pour afficher

l'égalité équivaut à a+b = ab/c
soient m, n, o les pgcd respectif de (a;c), (b;c) et de (a;b); m n et o sont premiers entre eux deux à deux
on peut poser a = moa'; b = nob' et c = mnc'; a', b' et c' étant également premiers entre eux deux à deux
ab/c devient : moa' * nob' / mnc' = o²*a'*b'/c'
or ni o', ni a' ni b' n'ont de facteurs communs avec c' (on peut s'en rendre compte par un diagramme de Venn
ab/c et a+b ne peuvent pas être des entiers
on n'a pas à donner la démonstration demandée puisque l'équation 1/a + 1/b +1/c n'a pas de solution dans le domaine des nombres entiers positifs

 Cliquez pour afficher

C'est bon

 Cliquez pour afficher

Non, vérifie il y a bien des solutions entières positives à cette équation

 Cliquez pour afficher

en multipliant les deux membres de l'égalité par ab : a+b = ab/c
soient m, n et o les pgcd respectif de (a;c), (b;c) et (a;b)
m, n et o étant premiers entre eux deux à deux, on peut poser :
a = a'mo; b = b'no; c = c'mn
a'mo+b'no = a'b'mno² / c'mn = a'b'o²/c'
a'm+b'n = a'b'o/c'
c'n et a'o sont premiers entre eux, de même que c'm et b'o et que a'm et b'n
c' n'a aucun facteur commun avec a' ni b' ni o : il faut donc que c' = 1
a'm+b'n = a'b'o
si a' était différent de 1, le membre de gauche devrait être divisible par a', mais b'n, premier avec a'm n'est pas divisible par a'
donc a' = 1; avec le même raisonnement : b' = 1
on se ramène à : m+n = o; a = mo; b = no
a+b = mo+no = o²
la somme de a et b est le carré de leur pgcd
pour trouver des nombres a et b tel que 1/a + 1/b = 1/c, il suffit de multiplier deux nombres quelconques par leur somme : les produits seront a et b

 Cliquez pour afficher

C'est bon

 Cliquez pour afficher

J'aime ta petite méthode à la fin. Est-ce que TOUS les a et b peuvent être trouvés de cette façon?