Limite et intégrale

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La limite c'est f(0) n'est-ce pas ?

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Pourquoi, t'as un doute ?

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non, non, c'était pour avoir confirmation !

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C'est bien ça

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En trichant à peine (j'ai regardé le blanké de kaiser).


Soit F la primitive de qui s'annule en a.
On a alors et on veut faire tendre x vers 0.

f est continue en 0, donc si , il existe tel que .
En considérant que (on veut faire tendre x vers 0), on a

Essayons d'encadrer cette intégrale.
Sur l'intervalle , f(t) appartient à d'après la remarque précédente.
On peut en déduire que
Une intégration nous donne alors :


ou encore .
Quand x tend vers 0, les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers et , et on fait ensuite tendre également vers 0 pour montrer que , ce qui signifie que en 0.

La conclusion s'en suit alors immédiatement, la limite recherchée est

La réponse est donc bien

Sans garantie...
D'ailleurs il y a très probablement un théorème qui m'évite tous ces embêtements, mais je ne le connais pas, alors j'essaye de me débrouiller avec les moyens du bord...

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Oh, le tricheur !
Plus sérieusement, j'ai plusieurs remarques à faire :

1) tu n'est pas sûr que f(0) est non nul dont tu ne peux pas diviser par f(0) (d'ailleurs, tu ne peux pas écrire ton équivalent dans ce cas-ci)

2) f(0) peut être négatif et dans ce cas le sens de l'inégalité change (mais bon après ça ne change pas grand chose)

3) le fait de faire tendre les différentes variables l'une après l'autre est peut-être un peu "dangereux" dans le sens où il faut prendre en compte les éventuelles dépendances des différentes variables. Bref, pour ne pas avoir d'ennuis il faut continuer le raisonnement avec les et il faut simplement dire que pour x assez petit (pour x plus petit qu'un certain ), une certaine expression est plus petite que .

4) Sinon, j'ai fait le même raisonnement que toi mais comme tu le pressens, il y a effectivement un théorème que l'on peut utiliser que tu verras en spé (si tu ne le connais pas déjà) : il s'agit du théorème de convergence dominée. Mais bon, personnellement, vu qu'on peut s'en tirer autrement, je pense que l'application de ce théorème serait quelque peu démesurée.

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1) Effectivement, je regarde comment faire...
2) D'accord, j'y penserai la prochaine fois (j'essayerai d'y penser )
3) Je ne vois pas pourquoi ce serait problématique dans ce cas là...
J'ai d'abord montré que (pour f(0)>0) ce qui est autorisé car x doit simplement être inférieur à .
Ensuite je fais tendre vers 0, ce qui me donne un encadrement de plus en plus fin de la limite qui m'intéresse, et ce qui finit par me donner
4) J'en ai souvent entendu parler sur l'île mais je n'ai jamais su ce qu'il disait ou à quoi il servait

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3) tu ne sais pas encore que la limite existe donc tu ne peux pas utiliser le symbole "lim".

4) En gros, voici ce qu'il dit dans une version simplifiée :
Si tu as une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables intégrables sur un intervalle I qui convergent simplement sur I vers une fonction f (c'est-à-dire que, à x fixé, la suite complexe converge vers ) et que tu supposes en plus l'existence d'une fonction g intégrable sur I telle que pour tout n, , alors f est intégrable et on peut rentrer la limite sous l'intégrale. Plus précisément, on a :

.
En fait, on a mieux :