Densité et mesure

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re : Densité et mesure

Posté le 29-07-07 à 01:59

Posté par romu

Je ne comprends décidément pas pourquoi une telle suite pourrait être non-convergente.

Otto as-tu un contre-exemple?

re : Densité et mesure

Posté le 29-07-07 à 02:15

Posté par romu

ah je viens de tomber sur l'article de wiki

sur le produit infini (si on peut appeler ça comme ça), apparemment il n'est pas défini quand la suite des produits partiels (si on peut appeler ça comme ça) tend vers 0, c'est peut être ça le souci.

J'avoue pédaler dans la semoule

re : Densité et mesure

Posté le 29-07-07 à 03:14

Posté par otto

Ce que l'on appelle un produit convergent est un produit dont la limite est non nulle. En général, on considère le cas d'une limite nulle comme un cars dégénéré (est ce que le produit est nul parce que tous les termes sont petits ou parce qu'au moins un est nul et tous les autres peuvent êtres énormes)

Par habitude de travailler sur de tels produits, j'allais te dire qu'un produit de ce type était convergeant (comprendre strictement positif) si et seulement si la somme des lambda_i était convergente.

En fait, on peut dans ce cas précis élargir la définition de la convergence et permettre une limite nulle, compte tenu de l'énoncé. Ici, effectivement, ta suite va être convergente, il n'y a pas de souci.

J'ai par habitude pris trop de précautions

Désolé du contre temps, je n'avais pas relu ce topic avant.
a+

re : Densité et mesure

Posté le 29-07-07 à 20:09

Posté par romu

Ok, ben en fait c'était peut-être pas si inutile que ça.

Voilà ce que j'ai trouvé:

Posons $u_1 = 1$ , et pour tout entier $n>1$ on pose $u_n = \Bigprod_{i=1}^{n-1} (1-\lambda_i)$ .

Posons ensuite pour tout $n$ , $w_n = \ln(u_n) = \ln(\Bigprod_{i=1}^{n-1} (1-\lambda_i)) = \Bigsum_{i=1}^{n-1} \ln(1-\lambda_i) = - \Bigsum_{i=1}^{n-1} (-\ln(1-\lambda_i))$ .

On a $u_n = e^{w_n}$ .

$(-\ln(1-\lambda_i))_i$ est une suite à termes positifs, car pour tout $i$ , $-\ln(1-\lambda_i) = \ln(\frac{1}{1 - \lambda_i})$ et $\frac{1}{1 - \lambda_i} \geq 1$ .

Plusieurs cas se présentent:

- si $(\lambda_i)_i$ ne tend pas vers 0:

alors $(-\ln(1-\lambda_i))_i$ ne tend pas vers 0, donc $\lim_{n \rightarrow +\infty} -\Bigsum_{i=1}^{n-1} (-\ln(1-\lambda_i)) = -\infty$ , d'où $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$ .

- si $(\lambda_i)_i$ tend vers 0:

on a $(-\ln(1-\lambda_i))_i$ ~ $(\lambda_i)_i$ .

Si la série de terme général $(\lambda_i)_i$ diverge (ie tend vers $+\infty$ vu qu'elle est à termes positifs) alors comme pour le premier cas, on a $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$ .
Si la série de terme général $(\lambda_i)_i$ converge, notons alors $l$ sa limite, il est clair que $l >0$ , et $\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = e^{-l}$ .

On peut remarquer qu'on a $0< e^{-l} < 1$ .

Dans tous les cas la suite $(u_n)_n$ , qui n'est autre que la suite $(\lambda(I_n))_n$ , est convergente.

------------------------------------------------------------------------------
Alors pour la question 3):

Soit $r\in ]0,1[$ , on cherche une suite $(\lambda_n)_{n\geq1}$ de points de $]0,1[$ telle que $\lambda(K) = r$ , $K$ étant le Cantor associé à cette suite.

D'après l'étude précédente, il faut que la série numérique de terme général $(\lambda_n)$ ait pour limite $-\ln(r)$ .

à partir de là je suis bloqué, peut-être à cause de mes lacunes sur la théorie des séries.

re : Densité et mesure

Posté le 30-07-07 à 18:56

Posté par romu

re : Densité et mesure

Posté le 11-08-07 à 02:26

Posté par romu

re : Densité et mesure

Posté le 03-07-08 à 19:25

Posté par stokastik

Ici un topic

où on se demande l'existence d'un cas plus particulier que $3$0<m(E\cap I)<m(I)$ .

re : Densité et mesure

Posté le 03-07-08 à 19:26

Posté par stokastik

... ça permet aussi de refaire un up pour romu

re : Densité et mesure

Posté le 03-07-08 à 21:47

Posté par romu

merchi stok

je pensais pas le reprendre tout de suite mais pourquoi pas

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