Densité et mesure

Posté par otto otto

Allo,
si l'on considère l'ensemble E des nombres de J=[0,1] dont le développement binaire contient moins de 1 que de 0 (i.e. la proportion des 1 est inférieure ou égale à 1/2), je pense que c'est facile de montrer que E est dense dans J.
De plus, je pense qu'il est facile de montrer que m(E)=1/2 où m est la mesure de Lebesgue.

L'idée est de voir que E et son complémentaire sont homéomorphes via une application qui est absolument continue et ont donc la même mesure. Vue que la mesure totale est de 1, on n'a pas le choix d'avoir m(E)=1/2.
Je pense que l'application x->1-x fait l'affaire.

Si on change un peu la définition de E en ne conservant que les nombres dont le développement binaire contient une proportion de 1 inférieure à p où 0<p<1, a t'on toujours m(E)=p ?
Il est relativement clair que l'on a toujours la densité de E dans J en revanche.

Je n'ai pas la réponse à cette question, mais je la trouve assez intéressante, si vouz avez des suggestions, je suis toute ouïe.

Posté par stokastik stokastik

Salut,

La mesure de Lebesgue sur [0,1] s'identifie via le développement binaire à la loi d'une suite de v.a. indépendantes qui valent 0 ou 1 avec probas 1/2 et 1/2.

Par la loi des grands nombres, la proportion de 1 tend vers 1/2 presque sûrement, c'est-à-dire que la mesure de Lebesgue des nombres qui ont une proportion =1/2 de 1 (et de 0) est égale à 1.

Ce qui me contredit c'est que l'application préserve la mesure de Lebesgue, je ne comprends plus là...

Posté par Fractal Fractal

Bonjour
Je ne serai probablement pas d'une grande aide, mais déjà est-on sûr que cet ensemble E est Lebesgue-mesurable?

Fractal

Posté par stokastik stokastik

ahhh non ok cela n'engendre pas de contradiction

Posté par stokastik stokastik


Oui Fractal car l'application  x dans [0,1] -> (développement binaire de x)  est mesurable

Posté par Fractal Fractal

Oki !

Fractal

Posté par stokastik stokastik

... je ne suis pas sûr que la densité soit vraie... si la proportion de 1 dans le développement de  x  est  >3/4, cela n'implique-t-il pas que  x  est à une distance >0 de l'ensemble des nombres de  [0,1]  qui ont une proportion =1/2 ?

Posté par otto otto

En fait je n'avais pas vérifié que x->1-x envoyait E sur son complémentaire, mais avec les mains ça avait de l'allure.

Mais je ne comprend pas bien pourquoi l'ensemble des nombres qui a une proportion 1/2 de 1 est de mesure 1.

Sinon pourquoi n'y a t'il pas contradiction (si x->1-X envoie bien E sur son complémentaire) ?

J'avoue que la vision probabiliste est plus adaptée ici, mais les notions me manquent pour l'aborder sous cet angle.

Posté par stokastik stokastik

Il n'y a pas contradiction car  x -> 1-x  n'envoie pas E sur son complémentaire, comme je l'avais cru aussi

Posté par otto otto

je ne suis pas sûr que la densité soit vraie

La densité n'est pas difficile :

Donne toi un nombre
La suite est toujours dans E, puisque la proportion des 1 est nulle (puisque la suite des x_i est stationnaire sur 0 à partir du rang n+1 ) et converge trivialement vers x par définition.

Posté par otto otto

Il n'y a pas contradiction car  x -> 1-x  n'envoie pas E sur son complémentaire, comme je l'avais cru aussi
Voila pourquoi il ne faut pas faire confiance à son intuition. J'aurais du l'écrire pour le voir alors.
As-tu un exemple rapide ?
On interdit les infinité de 1 dans les développements binaires. (comme les 9 dans les développements décimaux)

Posté par stokastik stokastik

en effet

Posté par stokastik stokastik


Si E est l'ensemble des nombres dont la proportion de 1 est <p, il est facile de déterminer l'image de E par x->1-x, et ce n'est pas le complémentaire.

Posté par stokastik stokastik

...sauf pour une valeur particulière de p

Posté par otto otto

La valeur particulière de p n'est pas 1/2 justement ?

Pour les autres p, je savais que x->1-x ne fonctionnait pas

Posté par stokastik stokastik

Oui c'est p=1/2 bien sûr.

Posté par stokastik stokastik

De plus otto, le théorème de la limite centrale te dit comment est distribuée la proportion de 1 asymptotiquement :

Posté par stokastik stokastik

pardon

Posté par otto otto

Non c'est ça, il y'a eu confusion.
Je parlais dès le départ de x->1-x pour le cas p=1/2.

Je me pose cette question parce que je veux démontrer un résultat plus fort que celui du problème suivant:

Construire E tel que

pour tout intervalle I de R.

Question subsidiaire:
un tel E est-il de mesure finie ?

En modifiant mon E, en le prenant de mesure 1/(2n^2) par exemple (donc p=1/2n^2) et en le translatant suffisament, on arrive à répondre au problème en le généralisant légèrement.

Posté par stokastik stokastik

? Je ne comprends pas. Ton E ? avec p=1/2n^2 ? Quel E ?

Posté par stokastik stokastik


Je vois : tu veux prendre où est tel que .

Mais comment construis-tu ces ?

Posté par otto otto

Oui c'est ça. (je prend aussi des n négatifs, histoire de recouvrir aussi R-, mais peu importe, puisque ce qui fonctionne sur R+ fonctionnera sur R-)

Pour construire En, il suffit de se placer dans [0,1] et de translater, alors sans perte de généralité on peut travailler avec des E_n dans [0,1], quitte à les translater par la suite.

Ensuite, j'aurais eu envie de construire E_n comme je le décrivais au début, c'est à dire comme l'ensemble des nombres dont la proportion de 1 est de p_n.

Tu me dis que ça ne fonctionne pas ?

Posté par stokastik stokastik

BEn non ça ne fonctionne pas, c'est ce que je dis depuis le début! On a m(E)=1 si p>1/2 et =0 sinon!

Posté par otto otto

Ok, je voulais remettre les choses au clair, parce qu'il y'avait eu un qui pro quo au début, ou du moins je ne comprenais pas notre discution.

Ok, dommage alors.

Posté par stokastik stokastik


... doit y avoir moyen de construire de tels ...

Posté par stokastik stokastik

Si on prend E l'ensemble des nombres de [0,1] dont le développement en base 3 a une proportion de 0 =1/3, il est de mesure 1, mais est-il dense ?

Posté par stokastik stokastik

... oui c'est évident, comme tout à l'heure.

Donc on peut construire les pour tout rationnel

Posté par Skops Skops

_{Conversation de docteur, la classe}

Skops

Posté par otto otto

Salut,
je ne veux pas qu'il soit de mesure 1, je veux qu'il soit de mesure plus petite que 1 et de sorte que

Pour tout sous intervalle I de [0,1].

Sinon, on pourrait prendre R\Q tout simplement.

Posté par stokastik stokastik

Tu as raison, j'ai déliré, ça m'arrive assez souvent.

En y réfléchissant un peu, j'ai repensé aux ensembles de Cantor "gras" dont on m'avait parlé un jour.

Je ne me souviens pas trop de ce que c'est, mais en tous cas je me souviens de cette remarque que je m'étais faite à moi-même :



Maigre au sens topologique... donc à mon avis le "gras" est au sens de la mesure de Lebesgue.

J'ai pensé à ça car l'ensemble de Cantor classique est dense dans [0,1] (je ne me trompe pas j'espère..) et sa mesure de Lebesgue est nulle. Sachant cela on est en droit de penser qu'il existe des ensembles comme ceux que tu souhaites.

Peut-être qu'en cherchant du côté des Cantor "gras"... mais je ne me souviens plus de ce que c'est, peut-être est-ce une mauvaise piste.

Posté par otto otto

Salut
non l'ensemble de cantor est compact, il ne peut donc pas être dense dans [0,1].

Je pense que ce que tu appelles Cantor gras est un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est non nulle.

Posté par stokastik stokastik

Tu as raison pour la densité.

Mais n'empêche que les Cantor gras répondent peut-être à tes désirs.

Posté par otto otto

Salut,
non ca ne fonctionne pas, ni le Cantor, ni son complémentaire.
C'est du à la disconnexité totale des espaces de Cantor.

En effet, si le Cantor fonctionnait, on n'aurait pas la densité (et c'est une condition nécessaire, c'est presqu'immédiat).
Si le complémentaire fonctionnait, on pourrait trouver un intervalle inclus dans ce complémentaire et il ne vérifierait pas l'inégalité sur les mesures.

Problème vraiment non trivial donc
Intéressant cela dit.
Merci pour ta proposition.
a+

Posté par stokastik stokastik

Re,

Puisque   est dense dans et puisque , alors pour , on ne devrait pas être surpris de l'existence d'un ensemble dense dans tel que .

J'aimerais bien me souvenir de comment est défini le "gras" des "Cantor gras"...

Doit bien y avoir moyen d'engraisser assez élémentairement

Posté par otto otto

Moi aussi je suis convaincu de ça, mais malheureusement, la conviction ne fait pas tout.
J'y réfléchis tranquillement pendant mes pauses et quand j'aurais trouvé, je posterais ma réponse.
a+

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, otto et stokastic.

Je pense avoir trouvé une partie E de R telle que, pour tout intervalle I de R:


Je vais vous la construire en 3 posts:

dans le premier post, je construirai "un ensemble de Cantor gras" (terminologie de stokastic)

dans le deuxième post, j'établirai quelques propriétés de cet ensemble

dans le troisième post, je construirai E à partir de cet ensemble de Cantor.

Prévoir un petit délai (pas plus de 2 jours).

Posté par romu romu



ça me fait penser un exo où je bloque sur un ensemble de Cantor qui laisse des grosses tâches de graisse derrière lui dans mon petit bulbe rachidien (surement pas assez gras pour vous):

On considère et on construit pas récurrence les ensembles de la manière suivante:
, est l'union des deux intervalles et formés en enlevant au milieu de un intervalle de longueur , est l'union des quatre intervalles formés en enlevant au milieu de chaque des intervalles de longueur , etc...
Le Cantor triadique est l'intersection de tous les ainsi construits.

1) Montrer que le Cantor triadique est un compact non vide d'intérieur non vide.

2) Calculer la mesure du Cantor triadique.

3) De manière plus générale, on conctruit d'autres Cantors en choisissant une suite de réels dans et enlevant à chaque étape intervalles de longueur (le Cantor triadique correspond à la suite égale à 1/3).
Refaire  les points précédents avec un Cantor général, et montrer que pour tout réel on peut trouver une suite telle que le Cantor associé à cette suite soit de mesure .

Posté par romu romu

[quote]1) Montrer que le Cantor triadique est un compact non vide d'intérieur non vide.[/tex]

Pardon:

1) Montrer que le Cantor triadique est un compact non vide d'intérieur vide.

Posté par otto otto

Bonjour,
tu aurais du créer un nouveau topic pour ton problème.

La question 1 se déduit trivialement de la 2.
Si tu veux une méthode qui n'utilise pas la 2, alors pense qu'un intervalle est un ensemble tel que si a et b sont dans l'ensemble et que a<c<b, alors nécessairement c est dans l'ensemble.
Regarde comment est construit le Cantor et montre que l'ensemble de Cantor ne peut contenir aucun intervalle. (S'il contenait un intervalle, on en aurait enlevé une partie...)

Pour la mesure de l'ensemble de Cantor, il suffit de voir que la mesure d'une intersection décroissante est la limite des mesures dans le cas où la mesure est finie à au moins une étape de la construction.

a+

Posté par perroquet perroquet

Je commence donc par la construction d'un "ensemble de Cantor gras" (pas très loin de l'ensemble de Cantor triadique décrit par romu un peu plus haut). Tout ce que je vais écrire est tiré du livre de Kahane et Salem:

Ensembles parfaits et séries trigonométriques
éditions Hermann (1994)
chapitre I, paragraphe 2

Soit AB un segment de droite de longueur et un nombre strictement compris entre 0 et 1/2. Considérons une trisection du segment en parties respectivement égales à et . Nous enlevons l'intervalle central ouvert (intervalle "noir"), de longueur , en laissant subsister les deux intervalles fermés ("intervalles blancs") de longueur commune . Une telle dissection sera dite dissection du type de l'intervalle AB donné, le nombre 2 rappelant qu'après la dissection, il reste deux intervalles "blancs".

Ceci dit, partons de l'intervalle . Opérons une dissection de type sur cet intervalle, puis, une dissection de type sur chacun des 4 intervalles blancs restants; puis encore, une dissection du type sur chacun des 4 intervalles blancs obtenus, et ainsi de suite, la suite infinie étant telle que pour tout on ait . A la kième étape nous aurons un ensemble de intervalles blancs de longueur commune  . L'intersection



est un ensemble compact sans point isolé et sans point intérieur, dont les intervalles contigus sont les intervalles noirs obtenus au cours de toutes les dissections. L'ensemble est de mesure:



Les origines des intervalles blancs constituant sont donnés par la formule:



où les prennent les valeurs 0 ou 1.

Les points de E sont donnés par la série:



chaque pouvant prendre les valeurs 0 ou 1.

Voilà: fin de la citation (pas tout à fait fidèle, il est possible donc qu'il y ait des fautes).

Donc: j'appellerai "Cantor gras" un ensemble défini précédemment de mesure non nulle. La suite plus tard.

NB: l'ensemble de cantor triadique correspond au cas et est, lui, de mesure nulle.

Posté par perroquet perroquet

Je passe maintenant aux propriétés d'un "ensemble C de Cantor gras". Comme l'a signalé Otto dans un post précédent, C étant compact, son complémentaire est ouvert et il existe donc des intervalles I de R tels que

Cependant:

si I est un intervalle ouvert de R contenant au moins un point x de C, alors
En effet, il existe tel que l'intervalle soit inclus dans I. Il existe k tel que . L'intervalle blanc de contenant x est alors inclus dans I (on rappelle qu'il est de longueur ). Donc, est inclus dans I et: . De plus, I contient au moins l'intervalle noir obtenu après la dissection de l'intervalle blanc de contenant x. On en déduit clairement que .

Posté par perroquet perroquet

Il reste maintenant à construire E à partir de C.

On écrit Q sous la forme

est l'image de C par la translation de vecteur .

Supposons construits et notons la distance de à . On construit de la manière suivante: si est dans , alors est l'ensemble vide; autrement, est l'image de C par , où est l'homothétie de centre O et de rapport et est la translation de vecteur .

E est la réunion des ensembles . Cet ensemble E vérifie bien la propriété:

Posté par romu romu

Bonjour, c'est une conversation collector.

Si un modo peut déplacer mes messages, afin que je ne pourrisse pas le topic avec mes questions bêtes. Je me sens pas à ma place ici

En tout cas merci pour tes explications otto, je vais tâcher de bien les exploiter.

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, romu.

Tu as écrit:



Je ne suis pas d'accord avec toi, romu.
L'exercice sur lequel tu demandais des indications est un exercice sur les "ensembles de Cantor gras" que j'ai définis un peu plus tard (avec des notations différentes).
Il se trouve que dans mes posts, je donne quelques éléments de réponse aux questions que tu posais (je l'ai fait de manière très allusive, il est vrai ). Donc, il ne faut pas hésiter à reposer des questions, s'il reste encore des points obscurs et si tu veux les éclaircir

Posté par stokastik stokastik

Kahane c'est ce nom que je recherchais depuis des années !!

Posté par romu romu

Bonjour, pour les deux premières questions aucun souci, je passe à la dernière

Posté par romu romu

Pour la question 3), voilà comment je procède (en reprenant les notations de mon post du 21/07/2007 à 01:51) :

Pour tout entier , est union de intervalles fermés inclus dans , donc est compact. Par conséquent est compact.

Pour tout entier , , donc est non vide.


Soit un intervalle ouvert non vide de , on note .

Il existe tel que (car ).

Pour qu'un intervalle ouvert soit inclus dans , il faut qu'il ait une longueur inférieure à .

Donc n'est pas dans , et a fortiori n'est pas dans .
Donc a un intérieur vide.

Après je bloque à cette question:

Posté par romu romu

J'ai un petit souci,

je trouve

,

,

,
...,

.

Comment montrer que cette suite est convergente, et comment peut-on trouver sa limite si c'est le cas?

Posté par otto otto

Salut,
merci à perroquet pour sa réponse que je n'ai pas encore eu le temps de lire.

Pour ta question romu, un produit de la forme
avec les 0<lambda_i<1 converge si et seulement seulement si ??

Posté par romu romu

pardon, je voulais dire

.

Salut otto,

les forment une suite décroissante et minorée, donc convergente, non?