Equations différentielles

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Equations différentielles

Posté le 05-07-07 à 19:20

Posté par moctar

Bonsoir,
On considére l'équation différentielle (E):
$4$(x-1)y''-xy'+y=0$ .

1.Démontrer que si f est solution sur $4$]1;+\infty[$ de (E),alors $4$f''$ est dérivable sur $4$]1;+\infty[$ et est solution sur cet intervalle de l'éuqation différentielle (E'): $4$y'=y$ .

2.Démontrer que si $f''$ est dérivable sur $4$]1+\infty[$ et est solution de (E'),alors:

$4$f'(x)=f(x)+c_1x+c_2$ $4$c_1\in \mathbb{R},c_2\in \mathbb{R}$ .

Quelle relation doit lier $4$c_1$ et $4$c_2$ pour que f soit solution de (E)?

3.Résoudre (E) sur $4$]1;+\infty[$

1.
f est solution de (E) sur $4$]1;+\infty[$ donc :
$4$(x-1)f''(x)-xf'(x)+f(x)=0$

$4$\Longrightarrow f''(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x-1}$
Donc $f''$ est dérivable sur $4$]1;+\infty[$ car étant la somme de 2 fonctions dérivables sur cet même intervalle.
Pour la 2é partie de la question,je ne sais pas quelle erreur j'ai faite mais je trouve que $4$f'''(x)=\frac{f''(x)}{x-1}$

2.
$4$f''$ est solution de l'équation différentielle $4$y'=y$
donc $4$f''(x)=ke^x$

$4$\Longrightarrow \{{f'(x)=ke^x+c^_1\atop f(x)=ke^x+(-c_1)x+(-c_2)}$

$4$\Longrightarrow f'(x)-f(x)=c_1x+c_2$

$4$\Longrightarrow f'(x)=f(x)+c_1x+c_2$

Je n'arrive pas à trouver une relation entre les coefficients,j'ai essayé de remplacer f dans (E) mais rien à faire.
Merci de m'aider et de me corriger

re : Equations différentielles

Posté le 05-07-07 à 20:03

Posté par cohlar

Bonjour, détaille-nous la dérivation de f" afin qu'on puisse repérer ton erreur.

re : Equations différentielles

Posté le 05-07-07 à 20:06

Posté par cohlar

Et pour ce qui est de la relation entre c1 et c2, tu as simplement fait une erreur en calculant f'(x)-f(x). Recalcule-le et la relation deviendra claire ^^

re : Equations différentielles

Posté le 05-07-07 à 20:13

Posté par cohlar

Désolé, tu as bien fait une erreur, tu en as même fait deux, mais les rectifier ne suffira pas à déterminer la relation entre c1 et c2.
Nomme tes deux constantes c1 et c2 différemment (car ce ne sont pas les mêmes que dans l'énoncé), puis exprime correctement f'(x) en fonction de c1 et de x, et enfin remplace l'expression de x dans (E), tu auras la relation souhaitée entre c1 et c2.

re : Equations différentielles

Posté le 05-07-07 à 20:55

Posté par moctar

pourquoi vous dites que ma réponse à la question 2 est fausse,j'ai bien trouvé ce que l'énoncé demande,non ?

re : Equations différentielles

Posté le 05-07-07 à 21:01

Posté par moctar

pour la suite du 1,j'ai montré que si f'' est solution de (E') alors f est solution de (E)
Donc réciproquement si f est de (E) alors f'' est solution de (E').
Est ce que c'est juste ?
Merci

re : Equations différentielles

Posté le 07-07-07 à 11:33

Posté par gregsp142 (invité)

Si $y'=y$ alors $y(x)=k*exp(x)$
$Ici f''(x)=y(x)$
$f'(x) = k*exp(x) + a$
$f(x) = k*exp(x) + a*x + b$
Par consequent:
$f'(x)=(f(x)-a*x-b)+a[/tex/] \\ [tex]f'(x)=f(x)+(-a)*x+(a-b)=f(x)+c_{1}x+c_{2}[/tex/] avec [tex]c_{1}=-a et c_{2}=a-b$

Apres, pars de ce qui t'es donne:
$f'(x)=f(x) + c_{1}x+c_{2}$
En derivant, cela te donne:
$f''(x)=f'(x) + c_{1}$
Apres en remplacant dans (E):
$(x-1)*f''(x)-x*f'(x)+f(x)=0$
$(x-1)*(f'(x)+c_{1})-x*f'(x)+f(x)=0$
$(x-1)*c_{1}-f'(x)+f(x)=0$
$(x-1)*c_{1}=f'(x)-f(x)$
$(x-1)*c_{1}=c_{1}x+c_{2}$
$-1*c_{1}=c_{2}$
$c_{1}+c_{2}=0$
Et voila, tu as ta relation!

re : Equations différentielles

Posté le 07-07-07 à 12:01

Posté par moctar

c'est compris,merci
Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies sur $4$\]1;+\infty[\$ , $4$x\to ke^x+ax$ .
Est bien cela ?
Merci

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