Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA 1: La maçonnerie mathématique

j'appelle support le nombre de pierres qui sont au contact direct du sol.
Le nombre de murs constructible avec n pierre est donc la somme des nombres de murs constructibles pour un support variant de 1 à n.
Pour un support égal à k on a C(n,k) (binôme de Newton) possibilités.
La somme est donc égal à la somme sur k des binômes de Newton qui est égale à 2^n.

Conclusion: Il y a 2^n possibilités de construire un mur avec n pierres.

on mettra les 4 figures de façon que ça soit 3cubes sur 4

Je remarque en relisant mon brouillon, que c'est 2^(n-1) que je voulais mettre. Tant pis pour moi...

Bonjour

On va montrer par récurrence que le nombre recherché est
C'est tout d'abord clairement vrai pour n=1 et n=2.

Ensuite, on suppose que c'est le cas pour n, et on va établir une bijection entre l'ensemble des couples de la forme (e,m) ou e=0 ou 1, et m est un mur de n briques et l'ensemble des murs de (n+1) briques ce qui achèvera la récurrence.

Pour e=0, (0,m) correspond au mur composé par m plus une brique posée sur le sol à la droite de m.
Pour e=1, (1,m) correspond au mur composé par m plus une brique posée sur la dernière colonne de briques de m.

Si l'on considère un mur quelconque m' de (n+1) briques, alors deux cas sont possibles :
- si sa colonne de briques la plus à droite est composée d'une seule brique, alors m' correspond à (0,m) où m est le mur correspondant à m' auquel on a enlevé cette brique.
- si sa colonne de briques la plus à droite est composée d'au moins deux briques, alors m' correspond à (1,m) où m est le mur correspondant à m' auquel on a enlevé la brique située au dessus de cette colonne.

Cette application est donc bien une bijection, d'où le résultat : il est possible de construire murs avec n briques

Fractal

On remarque rapidement que le nombre de murs possibles est .
Encore faut-il expliquer pourquoi.

Il y a deux étapes dans la construction d'un mur.

D'abord fixer le nombre de briques dans la base. (variant donc de 1 à n)

Ensuite il faut connaitre le nombre de manières de mettre les briques dessus, ce qui n'est pas pareil que la première étape puisque là on se permet de "séparer" les briques sur un support fini : le premier étage dont le nombre de briques dépend du choix dans la première étape.

Ainsi si on appelle M(n) le nombre de manières de construire un mur à n briques, et C(s,k) le nombre de manières de construire avec k briques sur un support fini de s briques on a :


(s briques étant utilisées dans la construction du premier étage, il en reste n-s)

Reste à calculer C(s,k) :
On remarque en fait que cela revient à calculer le nombre de manières dont k peut s'écrire selon la somme de s entiers.

En effet, à chaque emplacement (s en tout) correspond un certain nombre de briques à empiler. (voir schéma) Or la somme des briques sur chacun des empilements doit être égal à s, d'où la propriété.

Ce résultat est classique, on remarque dans un premier temps que, en fixant le nombre de briques sur le premier emplacement que et par une récurrence on trouve que :

(je sais plus comment on fait les "parmi")

Voilà, ça s'est fait , on injecte dans la première relation et on trouve grâce à la formule du binôme

Tadaaaa!

Le nombre de murs que l'on peut construire avec n nombre de pierres est égale à 2^(n-1)

Je dirais

ENIGME CLOTUREE

Je vous propose une solution:

Soir l'ensemble des cubes semblables et l'ensemble des positions de ces cubes.

L'ensemble contient éléments, donc on peut écrire:

L'ensemble contient deux éléments: sur terre et sur un autre cube , donc:

On associe à chaque cube de une position de , ce qui nous permet de créer une application de vers .

Puisque tous les murs contiennent au moins un seul cube sur terre, donc il existe un élément de E qui a une image fixe .

Et donc: le nombre de murs qu'on peut construire est le nombre d'applications de vers avec

On peut dire que l'ensemble des application de vers tel que est équipotent avec l'ensemble des applications définies de \ vers

d'où: le nombre de murs qu'on peut construire est égal à:

Il y a aussi d'autres solutions qui peuvent être plus accessibles aux premières... (Celles de Nicolas, Fractal...)

Merci encore pour vos participations

youpiiiii!

Ma première happy face! Ca fait zizir.

J'avais trouvé une démonstration analogue à la tienne, monrow, mais je ne l'ai pas proposée car j'en avais déjà postée une.

Il était pas mal comme défi. (maintenant je peux le dire vu que j'ai mon happy face)

On considère les colonnes plutôt que les lignes.

n= (1+1+1+....+1+1 ) (n fois).

Construire un mur, c'est sélectionner parmi les n-1 signes + de cette égalité des signes + qui serait entourées par une parenthèse fermante à gauche et un ouvrante à droite, c'est à dire : ) + (, chaque parenthèse contenant le nombre d'étages de la colonne considérée.
Le nombre de murs à k colonnes est donc C(n-1,k-1).

Il faut donc trouver la somme :
S= C(n-1,0)+C(n-1,1)+..C(n-1,n-1)= (1+1) ^n-1 (Binome de Newton)
S=2 ^n-1

bonjour,

pas mal pour une première énigme et qui ont beaucoup de popularité....

bonjour

je ne comprends pas la raison de mon poiscaille
étant donné que ma réponse est identique à la tienne

!?

cricri: non toi tu as écris ce qui est diiférent de

pourant tu as la meme méthode que moi à savoir la construction d'un suite géométrique de raison 2 c'est dommage de faire cette erreur....

ah ok merci

oui je me suis planté dans les caractères

ça chipote

enfin tant pis, j'avais quand meme la bonne méthode et le bon résultat sur papier!

Cricri : tu aurais dû écrire 2^(n-1) comme les vrais pros  

Belle énigme et belles démonstrations ...

Moi j'ai juste regardé les premières valeurs pour généraliser.

En tout cas, merci à ceux qui ont laissés les démos

Coucou,

je me souviens d'une démo assez sympa :

on écrit 1 pour un cube sur le sol, et 0 pour chaque brique située au-dessus.



111              100              101              110

On se retrouve avec des nombres en base 2 avec n chiffres.

On en déduit donc facilement qu'on aura 2^(n-1)  nombres différents.

bonjour,

citation :
On se retrouve avec des nombres en base 2 avec n chiffres.

borneo: ce n'est pas en base 3 ?

non il suffit de compter les briques dans cet ordre

3 6 ...
2 5 8
1 4 7 ...


Ainsi si la ième brique est sur le sol, alors la ième décimale vaut 1,
si elle est surélevée, elle vaut 0.

On retrouve le résultat de borneo.

je trouve :  2^(n-1), merci