topologie de la convergence simple

Posté par romu romu

Oui pas de problème pour la séparation, apparemment

Posté par Tigweg Tigweg

Ah en effet j'ai confondu pour les magmas:
en fait, je voulais parler des magmas associatifs.

En revanche, Wikipédia donne bien comme définition d'un monoïde un magma associatif doté d'un élément neutre.

Cela dit, ->Entièrement d'accord!

^{Tu en es où? Je peux déjà te dire que la densité dans E des fonctons simples n'est pas bien méchante non plus, il suffit d'écrire Au fait c'est un travail à rendre ou tu fais ça pour t'entraîner à l'an prochain?}


Tigweg

Posté par romu romu

La b) ne me semble pas bien difficile non plus.

Je crois avoir trouvé un plan:

je prends une fonction de ,

je considère un ensemble élémentaire quelconque de (les ensembles élémentaires de centre constituant une base de voisinages ouverts de ),

et je construis une fonction simple prenant ses valeurs non nulles identiques à celles de sur les .

Il me semble qu'ainsi j'aurai prouvé la densité, sauf erreur.

Posté par Tigweg Tigweg

Oui, tout-à-fait!
Cela prouve en effet que tout voisinage ouvert de tout f de E rencontre les fonctions simples, donc que celles-ci sont denses dans celui-là!

Posté par romu romu



Dans quel genre d'établissement a-t'on encore des choses en rendre, je suis postier depuis pas mal de temps et il me demande pas de rendre des exos de topo.
En fait je m'acharne sur un bouquin de topo depuis pas mal de temps auquel je suis tombé amoureux et n'ayant pas le temps ni le niveau de suivre des études de manière efficace à l'université, je fais des maths  en dehors du taf depuis quelques années.

Posté par Cauchy Cauchy

romu le livre de topo c'est celui de Choquet?

Posté par romu romu

En fait dans le chapitre des convergences de suites de fonctions et des convergences de famille de fonctions suivant une base de filtre, n'a pas voulu s'étendre sur la topologie de la convergence simple, il renvoie donc à cet exercice.

Posté par romu romu

Oui , c'est celui de Choquet.

Posté par Tigweg Tigweg

Ah bon??
Quel courage!
Tu as dû faire des études de maths quand même, tu n'as pas tout appris tout seul, rassure-moi!

->Ca pourrait être des exos de topographie!
J'ai été postier intérimaire durant les étés où j'étais étudiant et je n'avais aucun sens de l'orientation, c'est pour ça que je dis ça!Les 3 premiers jours, j'avais terminé ma tournée à 17h00, quel traumatisme!

Posté par Cauchy Cauchy

Ok romu, moi aussi je lis  le chapitre sur les filtres mais j'ai pas trop avancé

Posté par romu romu

Enfin j'ai quand même passé une UE où je devais faire un cours de topo suivi d'un cours de fonctions numériques en m'appuyant sur ce bouquin, mais en expliquant avec mes propres mots à l'écrit et à l'oral.
Ca s'est bien passé, je remercie d'ailleurs l'équipe du forum, particulièrement Cauchy, Camélia et Kaiser qui m'ont énormèment aidé à débroussailler ces pages de cours parfois obscures.

Posté par romu romu





je suis inscrit à la fac, quand même. Mais vu que les cours sont les jours il m'est difficile d'y aller régulièrement. Enfin jusqu'en seconde année ça s'est bien passé. Cette année, trop de boulot pour ma petite tête pour pouvoir gérer les deux.

Posté par Tigweg Tigweg

Une UE?? Kézaco?
Je ne connais a priori pas d'autre situation que l'oral d'un concours de recrutement d'enseignants où on peut être amené à faire une leçon!

Posté par Tigweg Tigweg

Tu fais tout ça par pure passion ou tu envisages de passer les concours pour être prof, au fait(si ce n'est pas indiscret bien-sûr!)

Posté par romu romu

Cauchy >> celui du chapitre I ou celui du II ?

Posté par Cauchy Cauchy

Une unité d'enseignement

Et content d'avoir pu être utile

Posté par romu romu

UE = unité d'enseignement, une matière quoi, où on devait faire un projet.

Posté par romu romu

prof ou n'importe quoi tant qu'il y a des maths (si possible pas seulement appliquée ).

Posté par Cauchy Cauchy

En fait j'ai pas le livre que t'as, mais les cours de Choquet à la Sorbonne dans les années 70(mais ça doit être assez proche),le cours c'est théorie des fonctions et il y a deux parties, structures topologiques puis structures uniformes.

La ça parle de bases de filtre, ultrafiltre et convergence où j'en suis

Posté par Tigweg Tigweg

Ah ok c'est original!

Posté par Tigweg Tigweg

->OK!
Pas facile d'avoir un travail et de plancher à côté!
Tu es en congés au moins?(me dis pas que tu te lèves à 5h ce matin...)

Posté par romu romu

après je suis pas super renseigné sur les débouchés.
J'accroche pas trop avec l'ingénieurie, l'enseignement j'adore ça, la recherche je pense pas avoir les capacités de pouvoir y arriver.
La cryptographie ça avait l'air sympa, j'aimais bien mais je me suis pas vraiment renseigné sur le cursus à suivre.
En attendant les maths c'est un passe-temps sympa, comme un jeu, au moins on s'ennuie jamais, il y a toujours quelque chose à chercher.

Posté par romu romu



Non, mais je suis à 20/25h par semaine, les congés en août. En général je me couche tard et je tourne au café.

Posté par Tigweg Tigweg

C'est exactement ce que je dis à ma copine qui ne comprend pas mon engouement(que dis-je:ma passion!) pour cette discipline: elle me prend pour un fou quand elle me voit en faire pour le plaisir!

Cela dit, elle ne comprend pas non plus que les "maths" que j'enseigne n'en sont pas(!), et que c'est justement parce que mon job me prend tout mon temps que je n'ai pas le temps de faire des vraies maths pendant l'année scolaire, et que du coup je me rattrape quad les cours sont finis!

Mais ça, seul(e) un(e) passionné(e) peut le comprendre!

Posté par Tigweg Tigweg

Oh purée t'es courageux!
Du coup je m'en veux de te faire perdre ton temps en inutiles verbiages, je ferais mieux de faire des maths avec toi!

Posté par romu romu

Tigweg >> tu enseignes dans quel genre d'établissement?



De ce côté, je suis sauvé. La mienne vient de sortir d'un master psychanalyse et L3 philo et elle fait ça juste pour le plaisir. Quand elle aura fini les études, elle a l'intention de faire instit . Du coup on forme un couple incompris

Cauchy >>



Oui, effectivement c'est pas le même, là c'est les cours qu'il a donné à Pierre et Marie Curie.
Là c'est Espaces topologiques et espaces métriques, Fonctions numériques et Espaces vectoriels topologiques.

J'aime bien la façon dont-il rédige, c'est presque artistique . Le bouquin est bien structuré au niveau des références. Et de plus un vrai pédagogue.
J'avais pris ce bouquin au pif à la BU, ce jour là j'aurai du jouer au loto.

Posté par Tigweg Tigweg

Lol...Mais tu AS gagné le gros lot,justement!

J'enseigne en Lycée depuis deux ans, après 4 ans de Collège

Sinon je viens de trouver la question c (et du coup la d, qui en est un corollaire immédiat)
Dis-moi si tu veux une indication ou si ça va!

Posté par romu romu

encore du temps pour chercher, s'il te plaît.

Posté par Tigweg Tigweg

OK!

Posté par Tigweg Tigweg

Une indication tout de même: c'est joli!

^{et plus simple que ce qu'on pourrait imaginer à la lecture de l'énoncé}

Posté par romu romu

Je crois avoir une idée.

Soit une fonction dans telle qu'il existe une suite de fonctions simples , et .

On pose , et .

est au plus dénombrable.
Et là je pense qu'il me reste à montrer que , si je ne me suis pas trompé.

Posté par Tigweg Tigweg

Exactement!
C'est ainsi que je l'ai fait, et je peux te dire que tu as fait le plus difficile
Moi je n'ai plus qu'à prouver que la fonction indicatrice de n'est pas limite de fonctions continues, mais je bloque, cela me paraît contradictoire avec les deux questions d'avant...

Posté par otto otto

Salut,
Tigweg -> que dire de l'ensemble des points de continuité d'une limite de suite de fonctions continues dans un espace complet ?

Posté par romu romu

Salut otto,

si ça peut rassurer, je viens de vérifier j'ai bien copié toutes les questions.

Posté par Tigweg Tigweg

Salut otto,

je ne sais pas si tu as vu, mais la topologie choisie n'est pas la topologie usuelle
L'espace obtenu n'est même pas métrisable!

Posté par otto otto

Je n'ai pas lu tout le fil effectivement, mais tu cherches bien à montrer que l'indicatrice de Q n'est pas limite simple de suite de fonctions continues, n'est-ce pas ?

Posté par Tigweg Tigweg

Oui, mais pour une topologie bien particulière dans l'ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même.
A moins que tu aies un résultat général qui ne dépende que de la topologie de [0;1] ?

Posté par otto otto

Oui, mais pour une topologie bien particulière dans l'ensemble des fonctions de [0;1] dans lui-même.

Je ne comprend pas, c'est la topologie de la convergence simple ou pas ?

On a le théorème de la limite simple de Baire, qui dit que si tu as une suite de fonctions continues de X vers Y, Y complet, qui converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de Y. (même un G delta je crois)

Notamment, l'indicatrice de Q est discontinue en tout point.

Posté par romu romu

aurais-je mal choisi le titre pour le topic?
C'est quoi la topologie usuelle de ?

Pour la d), j'ai un peu de mal (je suis dessus depuis 5 minutes ).


En raisonnant par l'absurde, je suppose qu'il existe une distance , et que la topologie associée à cette distance coïncide avec celle de la question a).

Les ensembles élémentaires forme une base pour cette topologie. Les boules ouvertes associées à aussi.

Je sais qu'une base définit une unique topologie, mais une topologie admet-elle une unique base?
Si c'est le cas cela signifie qu'un ensemble élémentaire est une boule ouverte pour la distance . Sinon je m'égare.

Posté par romu romu

Enfin pour la premiere de la e), celle avant l'indicatrice de ,
il me semble que je pourrai procéder de façon similaire à ce que m'avait dit Camélia dans ce topic: ,
pour construire la suite de fonctions continues qui tend vers une fonction simple donnée.

Posté par Tigweg Tigweg

otto>Tu as raison, je n'avais plus à l'esprit que cette topologie définissait la convergence simple.
Cependant on a montré auparavant que l'indicatrice de Q, que je vais noter f, est limite d'une suite de fonctions simples, et que toute fonction simple est elle-même limite d'une suite de fonctions continues.

Où est l'erreur dans le raisonnement suivant:

"Tout voisinage V de f contient une fonction simple g.Il existe un voisinage W de g inclus dans V(question 1).W contient une fonction continue h.Donc tout voisinage de f contient une fonction continue"

Bon j'ai trouvé en l'écrivant!
Cela ne prouve pas qu'il y a une suite de fct continues convergeant vers f, puisque l'espace n'est pas métrisable.C'est ça?

romu>Si l'espace était métrisable, alors la densité des fonctions simples impliquerait que toute fonction est limite d'une suite de fonctions simples, en contradiction avec c).

Posté par Tigweg Tigweg

Euh je commence à fatiguer, je t'avoue ne pas avoir le courage de lire cet autre fil
En revanche je peux te donner ce à quoi je pensais:

Donnons-nous une fonction simple f, et appelons les points d'image non nulle par f.
Pour tout n, tu peux considérer la fonction f_n affine par morceaux et continue qui vaut 0 partout sauf dans des intervalles de longueur 1/n centrés en les x_i où sa courbe est une réunion de deux segments joignant le point à l'axe des abscisses.

Il est très simple ensuite(en appliquant la définition) de prouver que f_n tend vers f.

Posté par otto otto

Cependant on a montré auparavant que l'indicatrice de Q, que je vais noter f, est limite d'une suite de fonctions simples, et que toute fonction simple est elle-même limite d'une suite de fonctions continues.
C'est faux.
Preuve en est f qui justement est une fonction simple et n'est pas limite simple de fonctions continues.

Posté par Tigweg Tigweg

Non, une fonction simple est définie dans l'énoncé comme une fonction s'annulant partout, sauf en un nombre fini de points.

Posté par otto otto

Si on nous change les définitions en cours de route, ça n'ira pas alors
Ok, traditionnellement, une fonction est simple si son image est finie.

Posté par Tigweg Tigweg

-> En fait j'ai des doutes!

Qu'en penses-tu otto (si ça ne t'embête pas!) ?

Posté par romu romu

voui il y a trop de notions de fonctins simples en maths .



D'accord, en fait la caractérisation séquentielle de l'adhérence ne s'applique pas sur , ce qu'on a montré par la question c).
Donc en fait est un exemple d'espace où il existe des points n'admettant pas de base locale dénombrable de voisinages, si j'ai bien compris (je ne me rappelle pas en avoir déjà rencontré un ).

Je reprendrai le e) demain à tête reposé, je fatigue aussi.
Bonne nuit.  

Posté par otto otto

Qu'en penses-tu otto (si ça ne t'embête pas!) ?
Ca ne m'embete pas, mais je n'ai rien suivi du post et ne suis plus trop familier avec cette topologie que je n'ai vue qu'une seule fois en détails, donc je ne pourrais pas trop aider ici.

Posté par Tigweg Tigweg

->Oui, voilà!

-> Ca ça m'intéresse, je ne me souviens plus de ces notions, tu pourras développer demain?

Bonne nuit en tous cas et bon courage pour le boulot!

otto> OK, mais juste sur ce point précis, es-tu d'accord pour dire que ce n'est pas parce que tout voisinage d'une fonction f donnée contient une fonction continue qu'il existe forcément une suite de fonctions continues convergeant vers f?

Posté par Tigweg Tigweg

En fait oui c'est clair, c'est comme le passage de la qestion c à la question d:

les fonctions simples sont denses dans E, donc même si f est non nulle en un nombre non dénombrable de points, tout voisinage V de f contient une fonction simple, et pourtant f n'est limite d'aucune suite de fonctions simples. ee

Il faut vraiment prendre son intuition à rebrousse-poil avec les topologies non-métrisables!