Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA4 :L'application interdite d'Etilarkov

Bonjour encore une fois,

C'est l'été... Et oui je sais.. Notre Etilarkov était au bord de la mer en train de méditer... Soudain, il se rappela un petit problème... Il s'est toujours demandé si on peut trouver une application de vers et qui réalise une petite relation astucieuse: pour tout et de

Assis sur une pierre et sur une petite feuille de 5 cm, il commence à tâtonner... une minute, deux, et c'est bon.. il a trouvé sa réponse (Et oui, il est fort ).. Mais il s'est rappelé les cerveaux de l'île... Donc, il a bien décidé de vous la proposer..

Quelle est cette application alors? Avez vous une idée?



Bonne recherche...

_{Rappel: Toute réponse doit être accompagnée d'une démonstration claire pour avoir son smiley}

Pour x=0 et y quelconque différent de zéro, on obtient :
f(0)^f(y)=y⁰=1
f(y)*ln(f(0))=1
ce qui donne soit f(0)=1 et/ou f(y)=0.

Supposons f(0)=1
Pour y=0 et x quelconque différent de zéro, on obtient :
f(x)=0^x=0.

En conclusion, on obtient bien la solution f(x)=0 pour x différent de 0.
Cette solution n'est pas acceptable car 0⁰ n'est pas défini.
Même si on acceptait 0⁰=1, l'égalité ne serait pas vérifiée pour tout x et tout y de .
Il n'est donc pas possible de trouver cette application f de vers.

Bonjour Monrow,


Supposons que cette fonction f existe.
On aurait alors f(2)^f(2) = 2² = 4
Ceci implique f(2) = 2.
On aurait aussi f(1)^f(2) = 2¹ = 2
mais comme f(2) = 2, ceci s'écrit f(1)² = 2

S'il existait un entier ayant 2 pour carré, ça se saurait !

Donc f n'existe pas.

Cordialement
Frenicle

j'ai peut être une idée dont voici la formulation :

Bonjour

(y = 0 et x = 0) => f(0)^f(0) = 1 donc f(0) = 0 ou 1

(y = 0 et x 0)  => f(x)^f(0)=0^x = 0

Si f(0) = 1, cela donne f(x) = 0 pour tout x non nul.
Si f(0) = 0, cela donne f(x)⁰ = 0 pour tout x non nul, or f(x) est dans , d'où une incohérence car f(x)⁰ = 1 = 0.

Donc une fonction vérifiant l'équation doit être de la forme :

   ->
F : x  ->  1 si x = 0
              0 si x 0

Réciproquement, la fonction F vérifie bien l'équation.

F est donc la solution (unique) du problème.

Bonsoir,

en partant de l'équation fonctionnelle proposée, pour tous entiers x,y,z, on a:
.
Supposons alors qu'il existe x tel que (i.e. f n'est pas identiquement nulle)
Ainsi, via ln (défini sur ), on obtient:

En particulier, si z=0, soit f(y)=0.
Donc, pour tout entier y, f(y)=0 i.e. et la contradiction.

Enfin, la fonction identiquement nulle ne peut convenir car la relation fonctionnelle n'est pas vérifiée
(voire pas définie même si souvent, par convention, on pose )

Conclusion: Il n'existe pas d'application f (définie de dans ) vérifiant la relation proposée.

_{NB: On peut prouver également la relation mais cela n'apporte rien de plus...}
^{(il faudrait une application à la fois exponentielle et logarithmique...)}

bonjour,
supposons l'existence d'une telle application de N dans N
a)on peut remarquer que f n'est pas constante,en effet si f(x)=k pour tout x de N la relation donne:pour tout couple(x,y)d'entiers naturels y^x=k^k=constante ce qui est faux
b)en faisant x=y=1 dans la relation donnée on obtient f(1)^f(1)=1 avec f(1) entier naturel donc f(1)=1
en faisant maintenant y=1 pour tout x entier naturel on a :f(x)=1^x=1 donc f serait constante ce qui est contraire au résultat de a)
finalement sauf erreur de ma part une telle application n'existe pas
merci pour cet exo

bonjour,

y = f(x)
f(y) = f(f(x)) = fof(x)
f(x)^f(y) = y^x f(x)^fof(x) = f(x)^x

donc on cherche f tel que fof(x) = x  soit f = f^-1
C'est donc une fonction bijectice.
C(f^-1) est toujours symétrique à C(f) par rapport à la droite y = x
Comme f = f^-1 alors C(f) doit être symétrique rapport à la droite y = x
(peut-on parler de courbes dans ? plutôt un ensemble de points...)

Dans , je pense qu'il s'agit d'une fonction comme f(x) = x
ou une fonction s'appliquant à des couples :
soit (a,b) tel que f(a) = b et f(b) = a
un exemple qui marche ?
si x pair alors f(x) = x + 1  et si x impair alors f(x) = x - 1
ici le couple (a,b) est (x,x+1) avec x pair ce qui donnerait :
f(0) = 1 ; f(1) = 0
f(2) = 3 ; f(3) = 2
etc...

Conclusion :

Toute application dans dont la courbe ou du moins la représentation graphique est symétrique par rapport à la droite y=x est solution de l'équation f(x)^f(y) = y^x

Merci et à bientôt, KiKo21.

Bonjour!

Suppossons qu'on puisse définir une telle application sur .

La relation n'est pas valable pour x=y=0 à moins de convenir que .
La seule possibilité raisonnable est de faire cette convention.


Alors si f(0) était supérieur ou égal à 2, on aurait (par croissance de sur ) d'où ce qui est absurde.

Par suite: .



Remarquons que, toujours par convention, f ne peut pas être l'application nulle, sinon il viendrait pour tous x,y:

soit ce qui n'est pas toujours réalisé!


Soit donc y tel que .
En prenant x=0 il vient d'où comme : .


Alors pour tout x non nul on aurait en prenant y=0 : d'où f(x)=0 si x est non nul .
Or cela est impossible (sinon on aurait par exemple )!



Conclusion: il y a un problème d'énoncé (t'as pas honte?!) et cette application ne peut être définie que sur !

En remplaçant x et y par 1 on en déduit, comme précédemment que f(1) vaut nécessairement 1, d'où en prenant y=1, on a pour tout x:
, soit pour tout entier .



Voilou!

Réciproquement, il est clair que cette application f convient.

bonjour

Je crois que l'expression est fausse dès le debut puisqu'elle doit être vérifiée y alors qu'en prenant y=0 on se trouve devant l'expression 0^x qui est interdite! Mais vu les 3 étoiles affectés à cet énigme je crois pas que la réponse est aussi simple ,voici donc une demo qui supposera que x, y^*, f définit de^* pour éviter l'expression 0^a:

on va calculer f(1)

En remplaçant dans notre astucieuse expression x par 1 et y par 1 on obtient:
f(1)^f(1)=1¹==>a^a=1

or la fonction xx^x est une fonction strictement croissante sur ^*₊(car on a x^x=e^x.lnxest la composante de 2 fonctions strictement croissantes sur cet interval)
donc l'equation a^a=1 admet une unique solution qui sera bien evidament 1 ==>f(1)=1

Revenant à notre expression initiale en remplaçant cet fois y par 1 et x étant quelconque, on obtient donc x f(x)^f(1)=1^x ==>xf(x)=1  
or en prenant x=1 et y=2 notre expression donnera f(1)^f(2)=2¹==>1¹=2 ce qui est impossible.
CCL: il n'existe pas de fonctions vérifiant l'expression de notre vieux Etilarkov

merci pour l'énigme .

Bonjour

citation :
Réponse : Il n'existe pas d'applications qui vérifient

Pour on a avec

Si alors

Si alors ce qui est absurde.

Si alors il s'agit de l'application identiquement nulle

Les cas et conduisent également à une absurdité.

En effet on aurait

Si cette égalité était vraie alors par exemple et ce qui impliquerait ce qui est évidemment faux.

Donc on en conclut qu'une telle application n'existe pas.


Merci pour l'équation fonctionnelle (j'adore ça )

bonjour
une telle application n'existe pas
en effet : prenons y=1, alors pour tout x, (f(x))^(f(1))=1^x=1
donc soit f(1) = 0, soit f(x) = 1

prenons maintenant x = 1 et y = 2
alors (f(1))^(f(2))= 2¹=2
si f(1) = 0, alors 0^(f(2)) = 2 ce qui est impossible
si f(x) = 1, alors 1¹=2, ce qui est aussi impossible

Réponse: Il n'existe pas de telle fonction.
Démonstration par l'absurde.
Supposons que cette fonction existe et vérifie la relation en question.
Alors pour x non nul et pour y égal à 0, on a:
f(x)^f(0)=0^x   qui est égal à 0 car x non nul.
Donc pour tout x non nul, f(x)^f(0)=0 avec f à valeur dans N.
Conclusion f est nul sur N* ce qui est en contradiction avec la relation (il suffit de prendre x=y=2 pour s'en convaincre)

slt tt les  cerveaux de l'ile.
cette application n'existe pas!

sorry je viens de voir la condition sur la démonstration!
je démontre alors par  l' absurde que l'application n'éxiste ps!
soit f une telle application
supposons que f(0)#0 on a:f(0)^f(1)=1^0 c,a,d:
f(0)^f(1)=1 donc:f(1)=0 puisque l'application : x--->0 n'est pas solution soit alors a un naturel non nul verifiant f(a)#0 on a alors: f(1)^f(a)=a^1 c,a,d :     0^f(a)=a enfin 0=a et ce qui est absurde donc :
f(0)=0 par conséquent f(a)^f(0)=0^a (a déja défini)c,a,d:  f(a)^0=0 c,a,d:1=0 et ce qui est absurde conclusion 0 n'a pas d'image par f et ce qui met f dans le monde des inexistants !

Cette application n'existe pas!
Démonstration par un contre exemple:

(1°)
Prenons x = 1 et y = 2.

y ^ x  =  2 ^ 1 = 2. La seule facon d'écrire ce résultat sous la forme d'une puissance d'entiers est "2 ^ 1" .

On a donc :

f(1) ^ f(2) = 2^1
avec
f(1) = 2 et f(2) = 1

(2°)
Prenons maintenant x=1 et y = 3. ==> y ^ x = 3
De la même facon, on ne peut écrire 3 que sous la forme "3 ^ 1".
D'où : f(1)^f(3) = 3^1
avec f(1) = 3 et f(3) = 1.

Pour résumer, d'après (1°), on a f(1) = 2, alors que d'après (2°), f(1) = 3
==> Un même entier a deux images par la même application
==> IMPOSSIBLE

Bonjour

La relation en question doit être vraie en particulier pour x=y, c'est à dire qu'il faut pour tout naturel n que où
Cette fonction g est dérivable sur R, et on a pour , c'est à dire que g est strictement croissante à partir de 1.
Comme g(0)=1, g(1)=1 et g(2)=2, on en déduit que implique que :
- si ,
- si ,
Il ne reste donc plus que 4 fonctions candidates.

Or, manque de bol, on devrait avoir, pour x=2 et y=3, , c'est à dire ce qui est manifestement faux.

L'équation fonctionnelle n'admet donc pas de solution.

Fractal

Je peux me tromper, mais il me semble qu'il est impossible de trouver une telle application!

2 arguments :

1. pour y = 0, , si x >0
donc f(x) = 0 ou éventuellement 1, ce qui est impossible compte tenu que .

2. Si on pose , g est injective de N* vers N*.
Or pour x=y, la relation impose g(f(x)) = g(x) soit f(x) = x, ce qui est manifestement contradictoire.

Bonsoir,

Je pense qu'une telle application n'existe pas.

En effet, supposons qu'elle existe, on doit avoir, pour tout :


donc, pour tout

Cette condition est nécessaire, or si est une telle application, alors, pour tous ce qui est manifestement faux (prenons 2 et 3 par exemple).

J'ai bon ?

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris...
Mais il me semble qu'en se plongeant dans le corps des réels, et en prenant les logarithmes on obtient
f(y)*ln(f(x))=x*ln(y) donc ln(f(x))/x=ln(y)/f(y) et compte tenu de la séparation des variables, chaque membre est égal à une constante k.
Ce qui supposerait que f(x)=exp(kx) et f(y)=ln(y)/k, ce qui est impossible quel que soit k...
Pour moi, la fonction f n'existe pas

Bonjour,

Une simple démonstration par l'absurde montre qu'une telle application ne peut pas exister.

Prenons l'entier 2. Il ne peut s'écrire sous la forme y^x que d'une façon: 2 = 2¹
Par définition de f, 2¹ = f(1)^f(2), donc f(1) = 2 et f(2) = 1

Prenons maintenant 3. Il ne peut s'écrire sous la forme y^x que d'une façon: 3 = 3¹
Or 3¹ = f(1)^f(3), donc f(1) = 3 et f(3) = 1

f(1) = 2 et f(1) = 3 : contradiction.

En tout cas, merci pour l'énigme, _{même si j'ai faux.}
gloubi

bonjour
une telle application n'existe pas
il suffit d'en donner un contre-exemple
la puissance d'un nombre y qui n'est pas une puissance dont l'exposant est un nombre premier x ne peut s'exprimer par des nombres naturels que sous les formes y^x et (y^x)¹; dans ce cas l'image de y est x ou 1 et l'image de x est y ou y^x

avec 3⁵ = 3⁵ ou 243¹, l'image de 5 est 3 ou 243
avec 5⁷ = 5⁷ ou 78125¹, l'image de 5 est 7 ou 1
l'image de 5 est donc (3 ou 243) ET (7 ou 1); 5 a donc deux images distinctes : f n'est pas une application de dans

Bonjour
il y a quelque chose que je ne comprends pas :
si y=0 et x non nul, donc f(x) = 0 si x non nul et f(0) non nul
mais avec par exemple x=y=2, on aurait

pour moi la réponse est : on ne peut pas trouver l'application ....

Cette application n'existe pas.


En effet :
On veut  f(x)^f(y) = y^x


en posant y = 1 on a :  f(x)^f(1)=1^x = 1

                        donc soit f(x) = 1 pour tout x soit  f(1) = 0

si f(1) = 0 on a   0 = f(1)^f(2) = 2^1 = 2  contradiction

si f(x) = 1 pour tout x on a   1 = 1^1 = f(2)^f(3) = 3^2 = 9 contradiction

Donc cette application ne peut pas exister.

A+
Torio

Salut monrow

On cherche donc une application f : IN -> IN qui vérifie pour tout (x,y)IN² :

(*)

1ère étape :

On utilise alors la relation (*) avec y = f(x) et x = f(y) , on obtient donc :

(**)

De (*) et de (**), on en déduit donc que :



Ainsi :      f² = id      et     f^-1 = f  (prop1)

2nd étape :

J'exclut dans mon étude le cas où on a 0⁰ qui n'est pas défini. Pour l'instant, je cherche une application de IN\{0,1} dans lui même.

Je passe l'expression (*) au logarithme. On obtient :

                  

Ainsi :

Par défaut, k est dans IR, mais comme f va de IN dans IN , on a k qui divise x et k > 0. Ainsi k IN*

De plus :  ln(f(x)) = k.ln(y)  =>  f(x) = y^k . Ainsi on a :



ie :  f(k.f(y)) = y^k  <=>  k.f(y) = f^-1(y^k) = f(y^k)  par prop1

3ème étape : Solutions de l'équa fonctionnelle :



Une étude simple montre que toutes les solutions sont de la forme :

  avec  a dans IR

4ème étape : Soit f une telle solution. Donc il existe a tq f(y) = a.ln(y)

Il faut vérifier notre propriété de la première étape ie f² = id. Or :

(fof)(y) = f(f(y)) = f(a.ln(y)) = a.ln(a.ln(y)) = a.ln(a) + a.ln(ln(y)) y

5ème étape : conclusion

Il n'existe pas d'application f de IN dans IN qui vérifie pour tout (x,y)IN² la relation :



Sauf erreurs de ma part

Romain

Bonjour,
ça me parait bizarre vu la formulation de la question "quelle est cette application alors?" mais vu que j'arrive au résultat avec 2 méthodes différentes, je tente!
Supposons qu'une telle fonction existe et qu'on la note f;
Prenons x=y=1;
alors
(f(1))^(f(1))=1
On applique la fonction ln (10 )
on en déduit que f(1)=0 ou 1
si f(1)=0, alors pour x=1 et y quelconque, on obtient que (f(1))^(f(y))=y donc
pour tout entier naturel y, y=0, ce qui est contradictoire!
C'est donc que f(1)=1
en prenant à nouveau x=1 et y quelconque, on a (f(1))^(f(y))=y
donc pour tout entier naturel y, y=1, ce qui est également contradictoire....
On en déduit donc que l'hypothèse de départ est fausse: il n'existe pas de fonction de N dans N telle que ...
Mais ça me parait louche quand même, parce que c'est un peu simple pour 3 étoiles...
De plus, je suis spécialiste dans l'art de tomber dans des pièges même pas cachés, donc...
Je sens le poisson d'ici mais bon, qui ne tente rien n'a rien!

pourquoi ne disons pas que c'est l'application de N sur N tel qu' a tout élément n de N,on associe l'élément n lui meme et on obtiendra n^n=n^
Donc   f(x)=x

Une telle application n'existe pas.

En effet, supposons qu'elle existe.
Dans ce cas, on aurait :
2^2 = 4 = f(2)^f(2)

Or 2^2 est la seule façon d'écrire 4 sous forme exponentielle dans N.
En effet, si une telle écriture existe pour un nombre x, elle est de la forme a^b
où 1 < a < x
Il nous suffit d'essayer toutes les valeurs de a possibles.
Pour chaque a qu'on vérifie, on essaie des valeurs de b allant de 1 jusqu'à ce que a^b soit supérieur ou égal à x. En effet, comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
si a^b > x alors on est sur que a^(b+c) > x    avec c entier Naturel.

Donc notre recherche exhaustive par algorithme nous mène à
2^2 = f(2)^f(2)  =>  f(2)=2
De même, 2^3 = f(3)^f(2)  =>  f(3)=2 et f(2)=3

Cette application pourrait donc donner deux images différentes pour 2 !
C'est absurde, donc une telle application n'existe pas.

c'est une question de limites il semblerait:
si la fonction f(x) tend vers une limites positives nule ou négative, pour que l'affirmation soit vrai il faut alors que la fonction f(y) tende aussi vers cette meme limite,il s'applique un paradoxe de puissance opposé c'est le cas lorsque f(y) tend vers une fonction expodentielle opposée au degres de la fonction f(x).
on ne peut donc pas affirmer l'exactitude de l'égalite mais seulement l'accepter selon les cas.

Demonstration:
f(x)->3n+2
f(y)->n^3+1

(3n+2)^n^3+1=>n^n^3

f(x)->3n+2
f(y)->-n^3+2

(3n+2)^(-n^3+2) =/= n^(-n)^3 selon évidement la valeur de n (=/=0 =/=1)

en esperant que c'est juste!!!

ENIGME CLOTUREE

Donc c'était une énigme à la portée de tout le monde plus ou moins... Mais une définition du niveau est vraiment trop délicate, c'est vrai qu'elle méritait juste 2 étoiles ou bien une ...

Bon, ne tardons pas, je vous poste ma proposition:

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Supposons qu'il existe une application de vers et qui réalise:

Pour , on obtient:         

Pour , on obtient:       

On étudiera deux cas:

Cas n°1: . Pour , on a d'après la relation :        ABSURDE

Cas n°2: . On a d'après la relation :

Or: pour dans la relation , on obtient:

Et puisque:

Donc:            ABSURDE

CONCLUSION: Il n'existe aucune application de vers et qui réalise:
_____________________________________________________

Merci pour votre participation