Forum : géométrie :
application affine

Bonjour,
je sollicite votre aide sur un exercice concernant les applications affines.
je n'ai ni compris l'exercice ni le corrigé
Soit A B C D quatre points non coplanaires d'un espace affine E de dimension 3.
Montrer qu'il existe une unique application affine envoyant  A B C D sur  B C D A et
déterminer un point invariant de celle-ci.

--> Corrigé :
( AB AC AD) est une base de E .
Il existe une unique application linéaire Phi l'envoyant sur ( BC BD BA)
et puisqu'une application affine est caractérisée par l'image d'un point et sa partie linéaire, l'application affine cherchée existe et est unique.
L'isobarycentre des points A B C D est invariant.
Merci d'avance pour votre aide

Salut !


peut-tu etre plus precis ? qu'est ce que tu ne comprend pas ?

en fait je ne comprend pas le corrigé. On cherche a prouver qu'une application existe, et après on me parle d'existence d'application qui renvoie une base sur une autre. Quel rapport ?

Salut karim, le rapport est le suivant:

Une application affine se définit à l'aide de l'application linéaire associée.
Par définition, f:E->E est affine sur l'espace affine E s'il existe F linéaire de X dans X où X est l'ev associé à E,avec:


F(Vect(a,b))=Vect(f(a),f(b)) pour tous points  a et b de E.

Tu es d'accord avec ça?

Donc pour montrer l'existence d'une application affine, il suffit de montrer l'existence de l'application linéaire associée.
Or celle qui est proposée par l'énoncé convient.

Enfin, le caractère affine d'une application équivaut au fait qu'elle conserve les barycentres, d'où l'existence du point invariant, isobarycentre de A,B,C,D.


Es-tu davantage convaincu?

Tigweg

Et bien on commence par construire la parti lineair de l'applicaton affine, et pour cela on utilise le fait qu'en définissant l'image d'une base on définit une et une seul application lineaire

Pardon Ksilver, je te croyais déconnecté.

merci à vous deux !!
en fait tigweg quand tu écris : F(Vect(a,b))=Vect(f(a),f(b)).
ce ne serais pas plutôt : F(Vect(a,b))=Vect(F(a),F(b)) .
Ensuite je me demande qu'est ce qui garanti l'existence de l'application Phi dont on parle dans le corrigé, celle qui transforme une base en une autre. Est ce un résultat de cours ?

Je t'en prie!

citation :
ce ne serais pas plutôt : F(Vect(a,b))=Vect(F(a),F(b)) .

>Non, F(a) et F(b) n'ont pas de sens puisque a et b ne sont pas des vecteurs mais des points de l'espace affine E.
LA relation quej'ai écrite traduit en quelque sorte la compatibilité de f avec son applicationlinéaire associée F.

citation :
Ensuite je me demande qu'est ce qui garanti l'existence de l'application Phi dont on parle dans le corrigé, celle qui transforme une base en une autre. Est ce un résultat de cours ?

>Oui!

Quelles que soient les bases fixées  e et f des ev et F, il existe une application linéaire unique envoyant la première base sur la deuxième.

Or les points A,B,C,D étant non coplanaires,les familles de  vecteurs proposées sont bien des bases de X!

Merciii tigweg j'ai compris

excusez moi y a autre chose qui m'embête.
Soit D une droite :
D = A + Vect ( u)
(u un vecteur)
Soit f une application affine, tel que f transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.
Pourquoi puis-je écrire : f(D) = f(A) + Vect(u) ?

Mais je t'en prie!


Pour répondre à ta question:


f(D) est une droite déjà, donc pour tout point B de f(D) et tout vecteur u non nul dirigeant f(D), elle s'écrit B+Vect(u).

Or D est dirigée par u qui est donc non nul, et f(D) est parallèle à D, donc également dirigée par u.
Par ailleurs A appartient à D, donc f(A) appartient à f(D) et on peut donc choisir B=f(A).

En conclusion on a bien: f(D)=f(A)+Vect(u).

OK?


Tigweg

Oui là c'est parfait. Merci encore

Je t'en prie!

salut a tout le monde je vous remercie d'avance
mon problebe est que je n'arrive pas a comprendre les applications affines et lineaires c'est pour cette raison que j'ai besoins votre aide
  au secours
              merci pour la comprehension