Salut,

convergence dominée

Salut,

La convergence dominée marche aussi pour une fonction seulement localement sommable ?

je me place sur un compact quelconque et je l'applique peut-etre ?

Oui tu fixes un compact K et tu l'appliques à

ok merci.

Mais l'appliquer à sur R^n, c'est équivalent à l'appliquer à fn sur K ou pas ?

Oui bien sur, c'est même la définition de l'intégration sur un ensemble autre que l'ensemble sur lequel tu mets ta tribu et ta mesure.

ok merci.

Pour etre sur de la démo :

Soit K un compact de R^n.

On a :

intégrable sur K

converge p.p vers f sur K

Hypothèse de domination :



Donc d'après le théorème de la convergence dominée, f est intégrable sur K.

Finalement, f est

C'est correct ?

Pour la suite je devais montrer que la suite de distribution converge dans D'(R^n) vers

J'avais appliqué le théorème de la convergence dominée :

étant dans , on a :

Je vais me placer alors sur un compact K qui contient le support de , on a alors :

On peut maintenant mettre en place les hypothèses du théorème de convergence dominée :

intégrable sur K car qui est intégrable sur K.

converge p.p vers sur K

Hypothèse de domination :

qui est intégrable sur K.

Donc d'après le théorème de la convergence dominée, on a :

On a donc bien quiconverge vers .

C'est juste ?

Oui c'est juste, tu aurais pu éviter de réécrire la convergence dominée en disant que fn-->f dans L1(loc) et majorer directement la différence en majorant ta fonction test par une constante.

j'ai pas compris
Tu parles de faire ça pour quelle partie de l'exo ? ( mon message de 16:49 j'imagine )

Oui je voulais dire comme tu avais déja appliqué la cvd au message d'avant, et bien tu as que sur tout compact l'intégrale de fn-f tend vers 0. Donc la tu majores par où K contient le support.

Juste pour aller un peu plus vite.

ok c'est bien ce à quoi je pensais d'après ton message, mais on applique quand même la convergence dominée ? ( Je pensais que tu disais qu'on pouvait se passer de la CVD )

Non on s'en passe pas, c'était juste pour pas la réécrire mais enchainer avec le message précédent

ok

c'est une technique de flemmard en fait

Tout à fait

j'essaye de continuer, alors on dit :

Citation :
En déduire () que si une suite converge dans D vers , alors la suite de distribution converge dans D' vers

Ta suite de distributions c'est cela:

?

Si oui on est ramené au cas précédent, les fonctions étant localement intégrables, reste à majorer indépendamment de n par une fonction g, or par définition de la convergence dans D, il existe un compact K qui contient tous les supports de tes fonctions et où il y a convergence uniforme de tes fonctions et de toutes ses dérivées.

Donc tu majores la différence par pour dans D.

ah oui bien sur, merci !
Déjà je n'avais aucune idée de comment utiliser la CVU, mais en plus j'ai jamais l'idée dans ce cas la de montrer que la différence tend vers 0.

En même temps la j'ai pas l'impression d'en avoir déduit mais d'avoir fait autrement Enfin pas tout à fait vu que la convergence uniforme implique de toute façon la convergence dans L1(loc).

oui j'allais te demander justement, ici t'as pas vraiment majoré par une fonction g ?

et sinon dans ton inégalité on utilise jamais la convergence dominée en fait ?

Non j'ai pas utilisé de convergence dominée.

Non j'ai pas majoré par une fonction g, j'ai commencé ma phrase et je suis parti sur autre chose

ok c'était pour voir si j'avais bien compris

A noter que ca m'arrive souvent de commencer ma phrase avec un argument en tête et de finir par un autre

vaut mieux etre plusieurs alors pour réussir à recoller les bouts

Oui

Tiens sinon, un truc qui n'a rien à voir, j'ai cherché sur le net, mais j'ai pas trouvé : c'est quoi une injection canonique ?

J'ai feuilleté un bouquin sur les EDP, et de mémoire ils parlent d'injection canonique continue ou compacte, d'un espace de Sobolev dans L2.

Mais je sais pas ce que c'est

Bien c'est en fait quand t'as un espace E inclus dans un autre F l'injection canonique c'est simplement que si tu prends un élément de E tu peux lui associer lui même vu comme élément de F.

En gros c'est la restriction de l'idendité à E.

ok, merci.

Mais comme on met pas forcément la même norme sur les espaces, c'est pour cela qu'il y a ces problèmes de continuité tout ça

d'accord, ça a pas l'air facile, je vais faire ça la semaine prochaine, on verra bien

Ca permet de faire le lien entre les différentes normes que tu mets sur le même espace et donc la topologie qu'elles engendrent.
Sont elles équivalentes, y'en a t'il une plus fine, etc. ?

ok