Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 175 : Tony et Patty.

Alors voilà
Tony a une petite amie
Elle est belle et son prénom
C'est Patty
A eux deux ils forment
Le gang Bulere
Leurs noms
Tony Truand et Patty Bulere.





Le fameux couple vient de dévaliser une banque et souhaite cacher son magot afin de se mettre au vert quelques jours. Dans un coin discret du parc municipal, ils ont trouvé un endroit parfait à l'intérieur d'un triangle formé par un arbre, un rocher et un puits. Après avoir enterré l'argent, ils souhaitent repérer l'endroit exact par rapport à l'arbre, le rocher et le puits.

Voilà comment ils procèdent :

Tony et Patty se placent dos-à-dos à l'endroit exact du magot. Tony marche en ligne droite en direction du puits tandis que Patty marche dans la direction opposée jusqu'à ce qu'elle atteigne le côté formé par le rocher et l'arbre. Tony compte alors 72 pas et Patty 18 pas.

Ils recommencent la même chose en direction de l'arbre. Tony compte 18 pas entre le magot et l'arbre alors que Patty compte 27 pas entre le magot et le point où elle atteint le côté formé par le rocher et le puits. (Ici encore, il ne s'agit pas de la distance mathématique entre le magot et le côté en question.)

Finalement, ils réitèrent l'opération avec le rocher. Tony compte cette fois 90 pas entre le magot et le rocher.

Sachant que deux pas de Tony correspondent à trois pas de Patty, répondez à la question suivante.

Combien y a t-il de petits pas de Patty entre le magot et le point où elle a atteint le troisième côté du triangle ?

Si vous pensez que le nombre d'informations est insuffisant, répondez : Problème impossible.

Bonne réflexion.

minkus

On utilise le théorème de Gergonne.
On transforme d'abord les pas de Tony en pas de Patty :
72 pasT = 108 pasP
18 pasT = 27 pasP
90 pasT = 135 pasP
18/(108+18)+27/(27+27)+x/(135+x)=1
1/7 + 1/2 + x/(135+x)=1
x/(135+x)= 14/14 - 2/14 - 7/14 = 5/14
14x = 5x + 5*135
x = 5*15 = 75
Il y a donc 75 petits pas de Patty entre le magot et le point où elle a atteint le troisième côté du triangle.

Bonjour minkus ,

Je réponds "Problème impossible", car on ne sait pas de quel côté va Tony quand il va vers l'arbre...
En éspérant avoir un ...
Merci pour l'énigme et bonne chance à tous,

fedejunior

problem imposible pour la simple raison qu'on ne sait pas ce qu'est un petit pas de patty donc comme il manque des information ceci est imposible ou alors le probleme est mal posé.

Bonsoir,

triangle et droites concourantes induisent le théorème de Céva...
mais en réalité il y a encore plus expéditif : Le théorème de Gergonne.

Soit ABC est un triangle et P,Q,R des points resp. sur les côtés BC, CA et AB.
Une CNS pour que AP,BQ et CR soient concourantes en S est que:
PS/PA+QS/QB+RS/RC=1 (en mesure algébrique).

Avec notre énigme en prenant soin de convertir les pas de Tony, on a la relation
_{(sachant que le magot est un point intérieur au triangle)}
d'où
Enfin, l'équation a pour unique solution x=75.

Conclusion: Patty est a pas du troisième côté du triangle ^{(patibulaire)}

Bonsoir

Il y a 75 petits pas de Patty Bulere () entre le magot et le point où elle a atteint le troisième côté du triangle.

Merci pour l'énigme

Bonjour minkus

Dans l'image ci-dessous, les proportions ne sont pas respectées, et pour cause : le problème est impossible.



Tout d'abord, les longueurs ont toutes été converties en petits pas de Patty.
O désigne l'emplacement du magot, et a, b, c, d, e, f les aires des triangles AOV, VOP, POU etc.

Comme les aires de deux triangles d'égales hauteurs sont proportionnelles à leurs bases, on a :
a + b = c, e + f = d, a + b = (108/18)f = 6f, d + c = 6e, d + c = (135/x)b, e + f = (135/x)a.

On en déduit que x = 75 et que les aires a, b, c, d, e et f sont respectivement proportionnelles à 20, 70, 90, 36, 21 et 15.
Mais on ne peut pas en conclure que la réponse est 75 pas, car le triangle ARP ne peut pas exister.

En effet, RU/PU = 36/90 = 2/5, car les aires des triangles ROU et POU sont proportionnelles à leurs bases.
D'autre part, RU est supérieur à 135 - 27 = 108 d'après l'inégalité triangulaire. Donc PU est supérieur à 108*5/2 = 270. Mais alors le triangle OUP aurait pour côtés 108, 27 et plus de 270, ce qui contredit l'inégalité triangulaire.

Merci pour cette très jolie énigme !

Cordialement
Frenicle

Soit O la position du magot, A le puits, B l'arbre C le rocher, et a,b,c des coordonnées barycentriques de O par rapport à A, B, C (on a l'égalité vectorielle aOA+bOB+cOC=0) Si A' désigne l'intersection de OA et de BC, B' celle de OB et AC, C' celle de OC et AB, on a entre les longueurs des segments les relations aOA=(b+c)OA', bOB=(a+c)OB', cOC=(a+b)OC' . Si l'on pose u=OA/OA'=(b+c)/a, v=OB/OB'=(a+c)/b, on en déduit OC/OC'=(a+b)/c=(u+v+2)/(uv-1).
Exprimés en petits pas de Patty, OA=108, OA'=18, OB=27, OB'=27 et OC=135; donc u=6, v=1, OC/OC'=9/5 donc OC'=75.
Patty fait donc 75 pas pour atteindre le troisième coté du triangle.

Bonjour,

Je dirais que l'énigme est impossible!Car  quand Tony va vers l'arbre, on ne sais pas de quel coté!

Bonne chance à tous!

Merci pour l'énigme!

Gtmath

Et la même chose pour le rocher...

Re-bonjour,

Idem pour le rocher!

Gtmath

Bonjour!

Problème impossible.

Merci pour l'énigme!

G_Einstein_97

bonjour Minkus
Patty a fait septante-cinq (75) pas pour arriver sur le côté entre le puits et l'arbre
au premier arpentage, elle a parcouru 12/(72+12) = 1/7 de la somme des deux parcours
au deuxième arpentage, elle a parcouru 18/(18+18) = 1/2 de la somme des deux parcours
au troisième arpentage, elle a parcouru 1 - 1/7 - 1/2 = 5/14 de la somme des deux parcours; soit les 5/9 du parcours de Tony, ou 50 longueurs de pas de Tony

Bonjour,

Ce n'est pas qu'il manque des données, mais celles fournies donnent un triangle plat, avec l'arbre entre le puit et le rocher.

Et là, on se rend compte de quelques bizarreries:

Le magot se trouvant sur les côtés rocher-puit et arbre-rocher, lorsqu'elle se dirige vers un de ces côtés, Patty n'a pas un seul pas à faire pour "atteindre"  le côté en question.

Les données 27 pas et 18 pas sont donc fausses, même si Patty se trouve toujours sur le côté "à atteindre".

Par contre pour aller vers puit-arbre, elle doit effectuer 27 "petits pas", se trouvant alors à l'arbre.

Je me trouve néanmoins obligé de répondre: Problème impossible (données incorrectes).

A+,
gloubi

après avoir fait un schéma je trouve que le triangle arbre/puit/rocher est rectangle (arbre), donc par pure supposition car on ne sait ou sont situés les points les uns par rapport aux autres je dirai 30 pas de patty entre le magot et le point où elle atteint le côté formé par le puit et l'arbre.

bonsoir

Ces énigmes deviennent de plus en plus dur !!, je crois que l'énigme n'a pas de solution par exés de de données et non pas par manque de données.
En fait j'oserais pas poster ma demo, primo parce que j'ai un petit doute, secondo parce que je pense bien que les mathiliens posterons des demos beaucoup plus élegantes que la mienne.

je réponderai énigme impossible, et j'assumerai les conséquences ... .

merci pour l'énigme .

Bonsoir Minkus

Au risque de me tromper, je réponds : " Problème impossible "

Alors ou   ?

Problème impossible... pour avoir un smiley... si possible.

27 pas

Bonsoir minkus

Je trouve que le triangle délimité par le rocher, l'arbre et le puits n'existe pas

Estelle

Bonjour,

Il est possible de résoudre ce genre de problème, mais il doit y avoir une erreur à propos d'une distance comme par exemple "90 pas de Tony" puisque ce problème n'a pas de solution : il n'existe pas de triangle permettant de placer un tel point car avec les autre données, la distance entre le magot et le rocher tend vers "54 pas de Tony" maxi....
Si Tony avait fait par exemple 36 pas en direction du rocher, il était possible de construire le triangle et on aurait trouvé "30 pas de Patty pour rejoindre le troisième côté du triangle.

Conclusion : Ce problème avec ces données n'a pas de solution, mais ce genre de problème peut se résoudre car il y a pourtant assez de données...

Je sens qu'il va y avoir de la discussion après la clôture du défi...

Merci Minkus et à bientôt, KiKo21.

Re

Pour préciser ma réponse en fait, je trouve qu'avec les données le triangle est forcément plat et qu'alors toutes valeurs de x entre 1 et 72 (compté en pas de Tony) conviennent.

Mais alors, problème avec l'énoncé puisqu'on nous dit que le magot est caché à l'intérieur du triangle.

Et lorsque le triangle est plat, c'est chaud

Ca sent le smiley pour tout le monde ou l'annulation de l'énigme si je ne me suis pas trompé !

A+
Et merci pour toutes tes énigmes Minkus

Bonjour
Merci de l'avoir laissé aussi longtemps car le déclic est venu un peu tard.
J'ai appliqué Ménélaus 5 ou 6 fois dans les différentes paires de triangles coupés par les transversales AA' ( A' étant l'intersection de AM avec RP ; M = butin = magot) , PP' et  RR' pour trouver que le nombre de petits pas de Patty =
A+

En suivant pas à pas, les traces du couple infernal, il semble que l'un des deux n'est pas dit exactement la vérité ou que le terrain n'est pas plat car une telle configuration est impossible dans le plan (Voir figure).

La conversion des pas de patty (Pp) en pas de tony (Pt) donne :
Pp 2/3 Pt donc

Vers le puits (P)
  12 pas (6*2)  ___ M ____________ 72 pas (6*12)
Vers l'arbre (A')
  18 pas (6*3) ___ M ___ 18 pas (6*3)
Vers le rocher (R')
     ???____ M _______________ 90 pas (6*15)

Or à aucun moment le point D' sur (RP) est confondu avec une intersection de (RP) avec le cercle de centre M (le magot) et de rayon 3*6...

Deux hypothèses s'imposent alors : soit l'un des deux a menti sur le nombre de pas pour se garder le butin (mais c'est pas possible car ils s'aiment !), soit le terrain n'est pas plat sur l'une des trajectoires (un ruisseau ou une bosse) allongeant significativement le parcours...

Comme il n'est rien dit à ce sujet, on ne peut conclure.  

Bonjour
C'est impossible car dans le troisième cas Tony devra être à moins de 54 pas du rocher.

Bonjour,

schématisons tout d'abord le problème si vous le voulez bien :



J'ai converti les pas en unités SI : c'est-à-dire 1 pas de Tony correspond à trois unités, et 1 pas de Patty correspond à deux unités.

On veut trouver x.

Puis sous la douche, j'ai trouvé qu'il était astucieux d'utiliser les aires.

En effet, en appelant A l'aire du triangle et A1, A2, A3 les sous-aires, on a par exemple la relation :



En effet, en utilisant une sombre histoire de Thalès,


On trouve alors
A1 = 1/2 A
A2 = 36/252 A = 1/7 A
A3 = x/(x+270) A

En additionnant on a
A1 + A2 + A3 = A

soit 1/2 + 1/7 + x/(x+270) = 1
d'où 14x/(x+270) = 5
soit encore 9x = 1350
d'où x = 150

En convertissant en unités pas de Patty, on trouve x=75 !

_{(croisons les doigts pour qu'il n'y ait pas d'erreurs de calculs )}

Elle va faire 45 pas.

Bonjour

Le triangle n'existe pas

Skops

nombre de petits pas : 75
(application des barycentres intermédiaires)
mais on remarquera qu'alors, les trois points de repères (arbre, rocher, puits) sont pratiquement alignés, ce qui ne facilite pas la recherche ultérieure du magot.

bonjour
avec beaucoup de retard, je répond que cette configuration est impossible

Salut,

citation :
Le probème n'a pas de solution car le triangle n'existe pas. C'est normal puisque Tony & Patty n'existent pas non plus. En fait ils s'appellent Bonny & Clyde et ne se sont pas au mis au vert du tout...

Oui j'aurais pu mettre ca comme correction mais c'eut été malhonnête.

Le fait est que ce n'était pas prévu, la réponse devait être 75 !

Mon idée était de faire découvrir aux plus jeunes et redécouvrir aux autres le fameux théorème de Gergonne car je venais de lire un article qui montrait que ce théorème avait en fait été découvert par Euler 38 ans avant Gergonne. L'article parlait aussi de Ceva bien sur et donnait une démonstration basée sur les aires, ce qu'ont refait certains ici.

Bref après avoir mis au point la petite histoire, je me suis trop focalisé sur les valeurs à choisir pour que l'égalité de Gergonne soit vérifiée et j'ai donc oublié de vérifier que mon triangle existait bel et bien. Et oui une des conditions d'application de tous ces théorèmes est avant tout l'existence du triangle !!

Que cela serve de leçon aux plus jeunes lorsqu'ils cherchent à appliquer un théorème

Je m'en suis rendu compte très vite avec la réponse de Frenicle et j'aurai peut-etre du annuler le défi. J'ai finalement décidé de le maintenir et :

- de donner un à tous ceux qui ont donne la réponse 75, croyant de toute bonne foi à l'existence matérielle du triangle

- de donner un à ceux qui ont dit que le problème etait impossible sauf s'ils ont justifié cette impossibilite par qque chose d'incorrect (fedejunior % co, ranma...)

- de donner un aux autres.

J'espère que ce petit compromis évitera ce présage de kiko

citation :
Je sens qu'il va y avoir de la discussion après la clôture du défi...

On verra bien...

Encore désolé pour la gaffe

minkus

Bonjour minkus,

N'as-tu pas oublié frenicle ?

Estelle

Bonsoir,

J'ai juste essayé de construire le triangle avec Autocad comme l'a fait LACAN et cela était hélas impossible d'où ma remarque...
Je ne connaissais pas le théorème de Gergonne. C'était effectivement une bonne idée : Merci Minkus.

A+, KiKo21.

P.S. Ben oui ! Et FRENICLE ?!

Oups !

Merci Estelle. Heureusement, Frenicle n'est pas la en ce moment.

>kiko : Je ne connaissais pas non plus le thm de Gergonne avant que manpower n'en parle dans sa correction d'une enigme, si mes souvenirs sont bons

Va falloir attendre un peu encore avant de savoir si kevin obtiendra son 2e car Monrow est en vacances.

Merci de compter juste même si le traingle n'existait pas

Et le théorème de Gergonne se prouve avec les aires non?

J'ai eu peur quand j'ai vu que la réponse 75 pas avait reçu un smiley ^^

Skops

Oui JU, Gergonne peut se prouver avec les aires. Regarde notamment la reponse de Frenicle

Que je suis content !