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Fonction dérivable en 0.

   
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premièreFonction dérivable en 0.

#msg1205174 Posté le 24-07-07 à 20:03
Posté par maximelinux (invité)

Bonjour,
L'énoncé est le suivant:

Soit la fonction définie par | f(x)= (racine de 1+x)-1 / x   (si x différent de 0)
                             |
                             | f(0)= 1/2

F est-elle dérivable en 0 ?




J'ai esseyer avec f(0+h)-f(0)/h
Mais je tombe sur des résultats étranges ...


J'aimerais aussi confirmation d'un autre exercice:

f(x)= 8x³+27 / 4x²-9
Etudier les limites de f en 3/2 et en -3/2   (je trouve +oo  pour les deux).

Merci de votre aide
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205182 Posté le 24-07-07 à 20:09
Posté par Profilmikayaou mikayaou

bonjour maximelinux

Pour la seconde, distingue x<-3/2 et x>-3/2 ainsi que x<3/2 et x>3/2

re : Fonction dérivable en 0.#msg1205184 Posté le 24-07-07 à 20:11
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonsoir,

Pour le premier, \rm\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}.

Puisqu'en première on ne connaît pas la notion de continuit d'une fonction, je pense que ta fonction est effectivement dérivable. Travaille donc dans ce sens.


\mathfrak{Ayoub}.
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205187 Posté le 24-07-07 à 20:12
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Euh c'est:

\rm\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}

re : Fonction dérivable en 0.#msg1205206 Posté le 24-07-07 à 20:25
Posté par maximelinux (invité)

1 Schumi 1:
C'est surment la réponse qu'il faut trouver mais pourrais-tu détailler ce calcul? je n'y parviens pas


pkiyaou> tu veux dire travailler sur les valeurs inférieurs et supérieures ?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205209 Posté le 24-07-07 à 20:26
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Tu veux que je détaille quoi?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205212 Posté le 24-07-07 à 20:29
Posté par maximelinux (invité)

le calcul que tu fais pour prouver sa
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205214 Posté le 24-07-07 à 20:30
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Un nain dix : expression conjuguée.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1205216 Posté le 24-07-07 à 20:31
Posté par maximelinux (invité)

oui c'est l'aide donée a la fin du livre mais je sais pas c'est quoi
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205218 Posté le 24-07-07 à 20:33
Posté par Profilxunil xunil

bonsoir,

1 Schumi 1 : justement comment fait on pour rédiger ca facon teminale ?

merci
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205220 Posté le 24-07-07 à 20:35
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

xunil >> J'ai jamais dit que c'était suffisant . J'ai juste dit qu'il semblerait que la fonction soit bien dérivable. Faut le prouver avec le taux de variation après.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1205227 Posté le 24-07-07 à 20:38
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Alors vite fait avant d'aller faire dodo:

\rm\frac{sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\times \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}\\=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\\=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}

Je te laisse le soin de conclure.


\mathfrak{Ayoub}.
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205228 Posté le 24-07-07 à 20:38
Posté par Profilxunil xunil

on sait mal compris:

Citation :

Puisqu'en première on ne connaît pas la notion de continuit d'une fonction


supposons que se doit un exercice de terminale comment faut il le résoudre (tu parles de continuité....)



merci
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205230 Posté le 24-07-07 à 20:39
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Avec le taux de variation bien sûr. Mais j'y ai pas encore réfléchi.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1205231 Posté le 24-07-07 à 20:44
Posté par Profilxunil xunil

et benh c'est la méthode que tu as fait :

on doit juste calculer : \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\frac{1}{2}}{x} et prouver que la limite est finie ?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205232 Posté le 24-07-07 à 20:45
Posté par Profilxunil xunil

c'est quand x tend vers 0 ....
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205238 Posté le 24-07-07 à 20:50
Posté par Profilxunil xunil

et si on vet prouver que la fonction est continue en 0 on calcule:

\lim_{x\to\0}f(0) mais ca doit etre égale à quoi ?

par ce que si c'est égale à 1/2 ce n'est pas continue... (d'après mon graphqiue) ?

merci de bien vouloir m'éclairer
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205242 Posté le 24-07-07 à 20:53
Posté par Profilxunil xunil

j'ai oublier le latex...  \lim_{x\to\0}f(0)


excusez moi si je pollue le topic ....

j'y vais a demain
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205246 Posté le 24-07-07 à 21:09
Posté par maximelinux (invité)

oké merci 1 shumi 1.
Je pense que je pourrais me débrouiller pour la suite de l'exo.

En passant on peut m'expliquer comment vous mettez les formules comme sa ? latex ?
On peut sur msn ?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205272 Posté le 24-07-07 à 22:16
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bonsoir,

Pour le \LaTeX, clique sur le symbole 4$\sum en haut et à droite de ton écran
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205279 Posté le 24-07-07 à 22:49
Posté par dellys (invité)

Salut à tous !


Voilà le lien direct --> "clique sur la maison c'est le lien"
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205765 Posté le 25-07-07 à 19:26
Posté par maximelinux (invité)

Merci pour vos réponses.
J'aimerais que l'on revienne au deuxième exercice svp.
J'ai pas bien compris se que je devais faire
re : Fonction dérivable en 0.#msg1205782 Posté le 25-07-07 à 19:52
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Commence par nous montrer ce que tuas déjà fait.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1205814 Posté le 25-07-07 à 20:54
Posté par maximelinux (invité)

limite du numérateur quand x tends vers 3/2 = 54
Limite du dénominateur quand x tends vers 3/2 = 0

Donc f(x) tends vers l'infini
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206373 Posté le 26-07-07 à 17:45
Posté par maximelinux (invité)

Vous en pensez quoi ?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206388 Posté le 26-07-07 à 18:03
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bonjour,

L' infini, oui mais \pm\infty suivant que x \to \frac{3}{2}^- ou x \to \frac{3}{2}^+; il faut séparer les deux cas.
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206439 Posté le 26-07-07 à 18:37
Posté par maximelinux (invité)

Dans ce que j'ai ecrit j'ai pas fait en -3/2 car je ne sais pas comment faire :s
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206454 Posté le 26-07-07 à 18:43
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Re,

Il y a des factorisations possibles au numérateur de la forme somme de 2 cubes et au dénominateur:

3$f(x) = \frac{8x^3+27}{4x^2-9}=\frac{(2x+3)(4x^2-6x+9)}{(2x+3)(2x-3=}=\frac{4x^2-6x+9}{2x-3} pour 3$x\not=-\frac{3}{2}

Tu peux maintenant calculer la limite en 3$-\frac{3}{2}

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206462 Posté le 26-07-07 à 18:47
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Il faut encore séparer les cas suivant que 3$x \to -\frac{3}{2} par valeur inférieure ou supérieure...

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206464 Posté le 26-07-07 à 18:47
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Oops! oublie le post de 18h47
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206471 Posté le 26-07-07 à 19:00
Posté par maximelinux (invité)

Bon je fais comment moi :p
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206472 Posté le 26-07-07 à 19:00
Posté par maximelinux (invité)

ah mince j'avais pas vu ta réponse :p
Vraiment dommage que l'on peut pas éditer ses messages ici
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206477 Posté le 26-07-07 à 19:09
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

>> Maximelinux

Une règle: tu as affaire ici quand x\to a à une forme indéterminée \frac{0}{0} . S' il s' agit de polynômes et de fractions rationnelles, il faut penser aux factorisations par x-a pour lever l' indétermination.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206481 Posté le 26-07-07 à 19:11
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pour x=3/2 c'est une simple histoire de prolonement par continuité.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206482 Posté le 26-07-07 à 19:11
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Euh, x=-3/2 pardon.
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206484 Posté le 26-07-07 à 19:11
Posté par maximelinux (invité)

il faut pas mettre le plus haut degré en facteur normalement ?

Je me souviens pas d'avoir apris a mettre x-a en facteur.





Autrement l'équation de la tangeante au point d'absice 0 de f(x) = (4x+3)/(x²-1),  f'(x)= (-4x²-6x+4)/(x²+1)²

Tu trouves combient stp ?
Je trouve y= 4x-13  mais elle passe pas par 0 :s
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206489 Posté le 26-07-07 à 19:22
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Re,

Pour les limites, tu mets les termes de plus haut degré en facteur quand tu calcules une limite au voisinage de l' 3$\infty

Pour la tangente au point d' abscisse 0, j' ai plutôt: 3$y=-4x-3.

Pourquoi voudrait-tu qu' elle passe par l' origine?

- il faut qu' elle passe par le point de la courbe d' abscisse considérée: a soit par le point M_0(a,f(a))

- il faut que son coefficient directeur soit f'(a)

L' équation de droite: y=f'(a)(x-a)+f(a) répond aux 2 conditions mais son ordonnée à l' origine n' est pas nulle en général.

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206490 Posté le 26-07-07 à 19:25
Posté par maximelinux (invité)

oui enfin elle devrais passer par l'orignie vu qu'on demande en absice=0
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206491 Posté le 26-07-07 à 19:25
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

voudrais-tu...
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206492 Posté le 26-07-07 à 19:26
Posté par maximelinux (invité)

Pourrais-tu détailler ton calcul stp ?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206493 Posté le 26-07-07 à 19:26
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Citation :
oui enfin elle devrais passer par l'orignie vu qu'on demande en absice=0


Non! le point d' abscisse 0 de la courbe n' est pas l' origine! Quelles sont ses coordonnées au fait?
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206494 Posté le 26-07-07 à 19:28
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Une minute,je reprends le calcul de la dérivée et la suite...
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206495 Posté le 26-07-07 à 19:32
Posté par maximelinux (invité)

oooups vraiment désolé  fx= (4x+3)/(x²+1) (pas moin)
0;3
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206496 Posté le 26-07-07 à 19:34
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

3$f'(x)=\frac{4(x^2-1)-2x(4x+3)}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x^2-6x-4}{(x^2-1)^2}=-2\frac{2x^2+3x+2}{(x^2-1)^2}

On a donc 3$f'(0)=-4. De plus, 3$f(0)=-3

L' équation de la tangente à 3$C_f au point d' abscisse 0 est de la forme : 3$y=f'(0)(x-0)+f(0)

qui donne: 3$y=-4x-3

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206497 Posté le 26-07-07 à 19:34
Posté par maximelinux (invité)

relit mon dernier poste je me suis trompé dsl :s
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206498 Posté le 26-07-07 à 19:38
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Avec 3$f(x)=\frac{4x+3}{x^2+1}, l' équation de la tangente au point d' abscisse 0 est:

3$y=4x+3

Pour t' en convaincre, calcule f'(0) et f(0)

re : Fonction dérivable en 0.#msg1206499 Posté le 26-07-07 à 19:45
Posté par maximelinux (invité)

oui la je suis d'accord avec ton résultat (avec la calculette)
C'est bon, j'avais fait un tite erreur de calcul
Merci
re : Fonction dérivable en 0.#msg1206500 Posté le 26-07-07 à 19:45
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

re : Fonction dérivable en 0.#msg1217411 Posté le 13-08-07 à 01:04
Posté par Jejedu92 (invité)

bonjour a tous, pour en revenir a \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1/2}{x}


Ainsi je voudrais savoir si vous pouviez m'expliquer comment on fait ce calcul s'il vous plait car la serieusement , je bloque...

Merci beaucoup d'avance
Jerome
re : Fonction dérivable en 0.#msg1217416 Posté le 13-08-07 à 05:20
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bonjour,

La fonction est-elle continue en 0 ?

Pour repondre, on regarde si, oui ou non, \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)

La limite en question est une forme indeterminee 0/0.
Comme on a des racines, on tente la methode de la quantite conjuguee :
f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to\frac{1}{2} quand x\to 0

La fonction est donc continue en 0.

(La suite arrive... derivabilite... )

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