Forum des énigmes mathématiques :
ENIGMA 5: Le ressort volant

Bonjour tout le monde,

je vais faire un petit essai.. Pourquoi ne pas essayer aussi ce genre d'énigmes?

A vous

Etilarkov est en train de faire des petites expériences et études sur le système masse-ressort...

Il a pris un ressort de raideur K et de masse négligée où il a fixé deux corps (S) et (S') de masses m et m'. (voir la figure ci dessous)

On considère la position du corps (S) en équilibre comme origine du repère .

On comprime (S) vers le bas d'une distance et on libère le système sans vitesse initiale.

1) Quelle condition doit réaliser   pour que (S') quitte le sol?

2) Déterminer l'expression de l'abscisse de (S) à l'instant où (S') quitte le sol en fonction de données convenables.



Bonne recherche

Soit F₁ la force du ressort sur S' :
F₁=K(x-x'-l₀)
Soit F₂ la force du ressort sur S :
F₂=-K(x-x'-l₀).
On obtient en écrivant que la force en S' est dirigée vers le haut.
m'g<K(x-0-l₀)
donc x₁= (m'g/K)+l₀(réponse à la question 2)

On écrit le PFD en S:
mx°°=-mg-K(x-l₀).
la solution est de la forme :
x=Acos(wt+p)+(l₀-g/w²)avec w²=K/m.
On a x°(0)=0=-Awsin(p)donc p=0 ou p=
On a x(0)=l_e-x_m=Acosp+l₀-g/w²).
Or l_e=l₀-g/w²
donc Acosp=-x_m. On a p=0 et A=-x_m<0.
x=-x_mcos(wt)+(l₀-g/w²)
(équation du mouvement de S avant que S' quitte le sol).

Pour que S'quitte le sol il faut que x _max>x₁.
x_m+l₀-g/w²)>m'g/K + l₀.
x_m-mg/K)>m'g/k .
x_m>(m+m')g/K.(réponse à la question 1)

En l'absence de décollage, le ressort comprimé de xm (vers le bas) va osciller jusqu'à une même distance xm vers le haut; si g est l'accélération de la pesanteur, la tension du ressort est égale à -m*g pour x=0, donc k*x-m*g pour x quelconque, et il y aura décollage si k*xm-m*g>=m'*g soit xm>=(m+m')*g/k. Au moment du décollage, S aura atteint l'abscisse x1=(m+m')*g/k

bonsoir

1)la condition est: x_m>||g||.(m+m')/k (g étant le vecteur champ de pesanteur)

2)x₁ = ||g||.(m+m')/k

3 étoiles me paraissent un peu trop exagérés pour cette énigme, à moin que j'ai pas vu son vrai astuce.

merci pour l'énigme .

Bonjour



Merci pour l'énigme très intéressante !

Bonjour Monrow,

A l'équilibre, la tension du ressort en S est égale et opposée au poids mg de S.
L'ensemble décolle dès que la tension du ressort en S devient égale à - m'g, (la tension du ressort en S' est alors égale à + m'g) ce qui se produit lorsque S atteint l'abscisse + g(m' + m)/K (puisque jusqu'à l'abscisse + gm/K, le ressort est comprimé, sa tension en S est positive.)
Pour qu'il atteigne cette abscisse, il est nécessaire de le comprimer jusqu'à ce qu'il atteigne l'abscisse opposée. Donc x_m = -g(m + m')/K  et x₁ = + g(m + m')/K.

Cordialement
Frenicle

1°/
il faut que xm soit au moins superieur au tiers de la distance mO afin de puissance P produite lorsqu'on libere le systeme soit suffisante pour que s' quitte le sol:

Demonstrtaion:
théorèmeb de ...(trou de mémoire!)
pour qu'un corps extensible non fixé de base S et l'extrémité s' se sépare de son postulat grace a une préssion excercée sur s', il faut que cette préssion p soit au moins superieur au tier de la distance s-s'.

Salut monrow

Ah un petit peu de physique, ça doit faire plaisir à J_P

Dans la suite j'appelerai A la masse m' et B la masse m

citation :
1°) Quelle condition doit réaliser xm pour que (S') quitte le sol ?

1ère étape : On considère le système  

Bilan des actions mécaniques :

Tension du ressort :  

Poids de S :  

Or à l'équilibre, l'accélération de (S) est nulle, donc :

         (*)

Ainsi l'équation du mouvement est donc :

       

Ainsi en posant  

          (**)

Ainsi par (*) et (**) :    

Et donc :  

2ème étape : On considère le système  

Bilan des actions mécaniques :

Tension du ressort :  



Poids de S' :  

Réaction possible du sol

Pour trouver la condition, on se place dans le cas ou

On a alors la CNS suivante. Il faut que la tension du ressort soit plus grande que le poids de (S') pour t > t₁ où t₁ est le temps pour lequel la réaction du sol s'annule. Ainsi :

               

citation :
2°) Déterminer l'expression de l'abscisse x1 de (S) à l'instant t1 où (S') quitte le sol en fonction de données convenables.

On se place ici dans le cas d'égalité de la situation précédente. On a donc :

         

Or d'après (**) :

   ainsi :





Conclusion. Ma réponse est :

1°)

2°)

Merci pour l'énigme

Romain

Bonjour,

1) Pour que (S') quitte le sol, il faut et il suffit que

  l_e x_m > (m+m').g/k, avec  k = mg/(l₀-l_e), où g est l' attraction de la pesanteur.

   l_e xm > (1+m'/m).(l_o-l_e)


2) L'abscisse x1 de (S) à l'instant où (S') quitte le sol est:

  x1 = (1+m'/m).(l_o-l_e)


A+,
gloubi

Re,

Bien sûr, j'oubliais:    (( ))

Pour que (S') puisse quitter le sol, il faut que

  l_e > (l_o-l_e).(m+m')/m

   l_e/(l_o-l_e)  > (m+m')/m

   m'/m < l_e/(l_o-l_e)-1

   m'/m < (2.l_e-l_o)/(l_o-l_e)

A+,
gloubi

Bond-jour!


Commençons par appliquer le théorème de la résultante cinétique sur (S) :

(l'allongement du ressort est bien )

or on a à l'équilibre
d'où

d'où l'équation différentielle (E) vérifiée par (S)

Je découvre les couleurs .

On résoud cettte équation différentielle on trouve



Maintenant passons au deuxième système (S'):
où R est la réaction de support de la table ;
soit

or à l'origine (S') est au repos,

d'où  

De plus on cherche quelle sera l'abscisse x quand (S') décollera, c'est-à-dire quand

On a donc (réponse au 2. bizarre l'ordre des questions)

Donc pour que (S') décolle il faut qu'il existe tel que
,
ce qui est vérifié lorsque
.

Ainsi (je sais pas si c'est demandé)

Et voilàààà....

Le système est à l'équilibre lorsque le poids de S est compensé par la compression du ressort

tant que le corps S' reste au sol, l'accélération de S est donnée par la résultante de son poids et de l'élongation du ressort:


en fonction des conditions initiales on obtient

Pour que S' quitte le sol, il faut que l'élongation du ressort compense le poids de S'.
Or cette élongation est au maximum .
On doit avoir :


La seconde masse S' quitte le sol lorsque l'élongation du ressort atteint cette valeur limite

ENIGME CLOTUREE

Désolé d'avoir tardé pour clôturer cette énigme

Donc la bonne réponse était:

1)

2)

LE GAGNANT DU MOIS EST:

Bravo pour le deuxième smiley

J'ai calculé X₁ en fonction du sol en pas en fonction de la hauteur du point d'équilibre..ce qui décale mon résultat de l_e=l₀-mg/K...
En tout cas, un grand bravo à Kevin pour sa seconde victoire..

.

Bonjour

Merci

On peut pas donner un à piepalm aussi ? Depuis le temps il le mérite !

Joli démo romain

Ju > Je ne connaissais pas merci

Bravo Kevin!

Quelle générosité!

Pour , (\spadesuit en Latex) je l'ai trouvé sur une liste de symboles sur le Net. Malheureusement le coeur et le carreau ne marchent pas! Problème interne à l'île?

Merci Ju

En fait c'est parce que le de l' est une version allégée.

OK je m'en doutais