Challenge n°210 : Poker

Posté par puisea puisea

Bonjour à tous, je sais qu'avec ce superbe soleil sur (toute ?) la France, cela devrait être interdit de poster des énigmes, mais bon ca reste une bonne occupation qui peut se faire sous le soleil...

On se place dans le cadre du jeu de poker Texas Hold'em (anciennement appelé "le Vegas").

Pour fêter la nouvelle organisation de l'île, le staff organise une rencontre au sommet. En finale, se retrouve les deux meilleurs joueurs de l'île : infophile et manpower. Cette rencontre retransmise à la télévision sur toute l'île permet de voir le jeu de chaque joueur, mais bien entendu, les joueurs ne peuvent pas être informés via une tierce personne de la nature des cartes de l'autre joueur.



Je rappelle les règles du jeu rapidement (en ne parlant pas des tours d'enchères, et des blinds qui ne nous intéressent pas ici) : le dealer donne à chaque joueur deux cartes que lui seul connaît, puis le dealer brûle une carte (c'est-à-dire qu'il l'a met de côté) avant de tirer trois cartes visibles de tout le monde (c'est "the Flop"). Ensuite, le dealer brûle à nouveau une carte, puis montre une nouvelle carte avec les trois précédentes à tout le monde (c'est "the Turn"). Enfin, il brûle à nouveau une carte pour la dernière fois, et montre une nouvelle carte avec les quatre précédentes à tout le monde (c'est "the River").

Pour récapituler, chaque joueur dispose de deux cartes que lui seul connaît, il y a trois cartes brûlées, et cinq cartes au milieu de la table et visibles de tous.

Le but du jeu est de former la meilleure combinaison possible de 5 cartes à l'aide des 5 cartes visibles par tout le monde et ses deux cartes fermées, connues seulement par le joueur. (Il est donc possible que la meilleure combinaison soit directement avec les cinq cartes visibles de tous).

Voici pour rappel les combinaisons par ordre décroissant de puissance :

- La quinte flush : une quinte flush est constituée de 5 cartes de la même couleur qui se suivent numériquement. La plus haute quinte flush gagne. AKQJT est la plus haute quinte flush, et est aussi appelée la quinte royale. 5432A est la plus faible quinte flush.

- Le carré : il s'agit d'avoir 4 cartes de même valeur. Le plus haut carré gagne. Si deux joueurs ont le même carré, alors celui qui a le plus haut kicker (cinquième carte dans le cas du carré) gagne.

- Le full : un full est constitué d'un brelan et d'une pair. Celui qui a le plus haut brelan gagne. Si deux joueurs ont le même brelan, celui qui a la plus haute paire gagne.

- La couleur : une couleur est constituée de 5 cartes de la même couleur. La couleur qui a la carte la plus forte gagne. Si deux couleurs ont la même plus forte carte celle qui a la meilleur 2ème carte gagne, et ainsi de suite. (Attention ! la couleur ne signifie pas rouge ou noir mais bien carreau, ou coeur, ou trèfle, ou pique).

- La quinte : une quinte est constituée de 5 cartes qui se suivent numériquement. La quinte avec la plus haute carte gagne. AKQJT est la plus hautes quinte, 5432A est la plus petite.

- Le brelan : il s'agit d'avoir trois cartes de même valeur. Le plus fort Brelan gagne. Si deux joueurs ont le même brelan, alors les deux kickers (cartes non combinées) sont utilisées pour déterminer le gagnant.

- La double paire : la main avec la plus forte paire gagne. Si les deux plus fortes paires sont identiques, alors c'est les paires les plus faibles qui entrent en jeu. Si elles sont identiques, alors c'est le Kicker (carte non combinée) qui détermine le vainqueur.

- La paire : la main avec la plus haute paire gagne. Si les paires sont identiques, c'est les kickers qui sont utilisés pour déterminer le gagnant, en commençant par la carte la plus haute, puis par la 2ème, et finalement la dernière carte.

- La carte forte : si une main n'entrent dans aucune combinaison, elle est classée selon sa carte la plus forte. Deux mains sont comparées en utilisant les cartes fortes. Si elles sont identiques, on compare les secondes cartes les plus fortes et ainsi de suite.



A un moment d'une partie, monrow (qui étant avec le staff ne participe pas) remarque qu'après la distribution des deux cartes à chaque joueur de la part du dealer, on a la situation suivante : Infophile dispose d'une paire de dix et manpower dispose d'un as et d'un roi de couleurs différentes.

A ce moment de la partie (il n'y a aucune carte commune), quelle est la probabilité pour infophile de gagner ?

Vous arrondirez votre résultat à l'unité près.

Bonne chance.

Posté par Eric1 Eric1

Grace à un logiciel, et cela dépend des couleurs des cartes, on peut determiner les pourcentages.

Si les 4 cartes sont de couleur différentes, par exemple 10 de coeur et pique, As de trefle et roi de carreau, on arrive à une probabilité de 57% de victoire pour Infophile.
Si les 4 cartes sont de 3 couleurs différentes, par exemple 10 de coeur et pique, As de pique et roi de carreau on a encore 57%.
Mais si les 4 cartes sont de 2 couleurs différentes, par exemple 10 de coeur et pique, As de coeur et roi de pique on n'a plus que 56%.

Ce programme est disponible sur: http://fr.pokerlistings.com/calculatrice-probabilites-poker en Texas Hold'em, néanmoins mon calcul des probabilité viendra par la suite. J'ai bientôt, (encore que c'est de plus en plus long) fini.

Ma réponse: 57%.

Posté par Eric1 Eric1

Je m'embrouille un peu avec les probabilités, surtout quand il faut enlever les couleurs et quinte aux doubles paires et paires...

Le fait que Manpower aie un as et un roi est une preuve que Infophile ne pourra jamais gagner au kicker. Ca simplifie le jeu. Ainsi, les cas d'égalité seront écartés.
Quant à la réponse, ce n'est jamais qu'une chance sur 100.


Supposons que les 4 cartes sont de couleur différente.

Infophile gagne par quinte flush. Pour gagnr seul, il faut qu'il utilise un de ses 10.
La Quinte flush royale: ARDV de la même couleur (et celle du 10) visible à tous:
44*2 possibilités (44 car la dernière carte peut être n'importe quoi, et 2 car ca peut être dans chacune des couleurs des 10).
Sous Total Quinte flush royale: 88

La Quinte flush: possible ici: RDV109; DV1098; V10987; 109876; soit 44*2*4 possibilités (même principe, 4 configurations).
Total Quinte flush: 44*2*5=440.

Le carré: pour gagner seul, carré de 10, plus 3 cartes ne pouvant pas être 3R ni 3 As.
Soit: (3 parmi 46) -2 possibilités.
Total Carré: 15180.

Le full:
*) Si il n'y a pas de 10, il ne doit pas y avoir d'as ni de roi, ni une paire de dame ou valet, car dans ce cas égalité. Mais il peut y avoir un brelan de dame ou valet.
Dans ce cas:
-DDD, paire de valet et 10 excluses: 4 (rotation de dames)* ((2 parmi 32)+4(un valet DDDV?)*32): 32 toutes cartes de 2 à 9.
-VVV, paire de dame excluse, même calcul: 4*((2parmi32)+4*32)
Sous total full sans 10: 4992

*) Si il y a un 10, il peut y avoir une paire de roi ou d'as à condition de ne pas avoir d'autre paire.
-Dans ce cas: RR10 + n'importe quoi sauf as, roi, 10 ou paire.
6(rotation de roi)*2(l'un des 10)*4*10 (une carte)*4*9(une de valeur différente)=17280.
Même chose pour la paire de roi: 6*2*4*10*4*9=17280
- Sinon, paire de n'importe quoi (sauf A,R 10)
par exemple DD10, on peut ensuite rajouter n'importe quoi sauf 10, excluons pour
le moment une autre dame: 6 (les dames)*2( le 10)*((2 parmi 36)+3*36(as seul)+3*36(roi seul)+3*3(configuration ARDD10)).
-Maintenant DDD10, ici as et roi sont exclus, donc: 36 possibilités (valet autorisé) =10296.
Pour VV même calcul: 6*2*((2 parmi 36)+3*36+3*36+3*3) + 36=10296

Pour pour toute paire ou brelan en dessous du 10, il n'y a plus de probleme d'égalité:
9910?? il ne peut toujours pas y avoir de paire de roi, as, 9, ni d'autre 10, mais toute autre paire en dessous du 9 est autorisée.
6(pour les 9)*2(le 10)*((2 parmi 28)(2 cartes entre 2 et  8)+3*41(A+qqchose) +3*38(R+quelquchose de  +petit)+4*34(D+petit)+4*30(V+petit)+2*28(9+petit))=11124

8810??: 6(pour les 8)*2(le 10)*((2 parmi 24)(2 cartes entre 2 et  7)+ 3*41(A+qqchose) + 3*38(R+quelquchose de  +petit)+ 4*34(D+petit)+ 4*30(V+petit)+ 4*26(9+petit)+2*24(8+petit))=11052.

7710??=6*2*(2parmi 20)+3*41+3*38+4*34+4*30+4*26+4*22+2*20)=10980.
6610??=6*2*(2parmi 16)+3*41+3*38+4*34+4*30+4*26+4*22+ 4*18+ 2*16) =10908.
5510??=6*2*(2parmi 12)+3*41+3*38+4*34+4*30+4*26+4*22+4*18+4*14+2*12 )=10836
4410??=6*2*(2parmi 8)+3*41+3*38+4*34+4*30+4*26+4*22+4*18+4*14+4*10 +2*8 )=10764
3310??=6*2*(2parmi 4)+3*41+3*38+4*34+4*30+4*26+4*22+4*18+4*14+4*10 +4*6+2*4 )=10692
2210??=6*2*(3*41+3*38+4*34+4*30+4*26+4*22+4*18+4*14+4*10 +4*6+4*2) =10620.
Sous total full avec 10: 142128
Total full: 147120.

Couleur...Pour qu'il gagne seul la couleur, il faut que le 10 apparaisse dedans, donc de la bonne couleur. En considérant toujours 4 cartes de couleur différente, on arrive à:
4 ou 5 cartes de la même couleur qu'un des 10 d'Infophile est gagnant, le 10 fera partie de ceux la, donc:

2(pour les 2 couleurs des 10)*((5 parmi 12)(dans ce cas 6 cartes de même couleur)+(4 parmi 12)*4*12(une carte d'une autre couleur))=49104.
Total couleur: 49104.

Quinte: L'autre est au départ mieux parti pour la quinte. Il faut obligatoirement ne pas avoir l'une des cartes V et/ou D, et obligatoirement contenir 9 8 et 7. Ne pas oublier d'enlever au réslutat les couleurs et quinte flush.
On pourra apres avoir
- 6+n'importe quoi sauf 10
4*4*4 (pour les 9,8 et 7)*4 (le 6)*44 -44(6 cartes de la même couleur en tout)-4*36 (9876 de la même couleur, et l'autre d'une autre couleur)-4(choix de la carte pas de la même couleur)*4(la couleur considérée)*3(la couleur de l'autre)*(13-4(6789)-2(pour une couleurchoisie, une carte est déja prise (10,As, ou Roi)et il reste alors 2 possibilités))=10740
-si il n'y a pas de 6, il y a un valet, et pas de dame.
4^4(V987)*36 (en enlevant 6 et dames)-36 (6 couleurs)-4*30(autre couleur sauf 6, dame et une dans le jeu d'Infophile ou Manpower)-4*3*4*(13-4-2-2(pour enlever 6 et valet))=8820.
Total quinte: 19560.

Le brelan. Le brelan ne peut être que de 10, car sinon ce serait un full.
10+ 4 autres cartes qui ne forment pas de paire
2(choix du 10)*4*12*4*11*4*10*4*9/24=253440, car la double paire probable RA est dominée par le brelan de 10.
Mais il faut encore enlever les quintes et couleurs, sans enlever deux fois les quintes flush.
Les 5 cartes sont différentes en valeur. Il faut enlever les VD???, les V10987, les 109876
On enlève 4*4*2(VD10)*(2 parmi 45)
On enlève 2*4*4*2*4*4

Pour la couleur,  on a un 10, de couleur différente pour infophile. on a ensuite 4 cartes différentes qui peuvent être de même couleur: 2(le 10)*4*12*11*10*9/24.
Mais il se peut également que la couleur soit comme celle du 10, dans ce cas, 5 cartes de même couleur. 2(le10)*11*10*9*8/24, ou 4 cartes de même couleur: 2*11*10*9*38/6

On rajoute les quintes flush: 3 quintes flush possibles, 4 couleur => 12
253440-31680-1024-3960-660-12540+12=203588
Total brelan: 203588.

Double paire: => pas de 10, pas de roi, pas d'as, et une autre paire.
la double paire DDVV amène l'égalité, et c'est la seule,ce qui entraine le -1 ci dessous
la triple paire: ((2 parmi 10) -1)*6*6(leurs couleur)*8*4 (la dernière carte)
la double paire: 10(la paire)*6(couleur)*4*8*4*7*4*6/6(les 3 autres cartes différentes)

il faut ici aussi enlever la couleur et la quinte( pour la double paire, c'est possible)
la couleur: 10*4*8*7*6/6
la quinte: ???
environ:un peu moins de 263488

La paire => ni As, ni roi, ni 10, ni paires
4*10*4*9*4*8*4*7*4*6/120
Risque de quinte DV1098, V10987, 109876.

Carte haute: 0.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

La probabilité qu'Infophile l'emporte est (selon mes calculs) égale à 57% (arrondi à l'unité près).
Les chiffres exacts tournent autour de :
- 56,6 % pour Infophile
- 42,9 % pour Manpower
- 0,5 % de cas d'égalité ou de cas non testés.
Je ne suis vraiment pas certain de ma réponse..., mais je peux vous dire que j'ai passé un temps fou à programmer.
Pas vraiment un cadeau cette "super" 4 étoiles, puiséa. !!!

Posté par Ju007 Ju007

Bonjour !

J'ai programmé un simulateur de sortie de 5 cartes aléatoires pour répondre à cette énigme. (en excluant deux 10, un roi, et un as)

Je n'ai pas pris en compte les couleurs (car cela n'a pas été mis en valeur) même si je pense que manpower sera plus avantagé s'il possède les mêmes couleurs que infophile. (Je pense qu'il doit gagner 1%, un truc comme ça)

Alors j'ai fait tourné la bête, et il en ressortirait qu'infophile serait gagnant avec sa paire de 10 avec une probabilité de 57%! (plus au moins) Donc manpower aurait 43% de chance de gagner...

En espèrant donc que je me suis pas trompé dans le programme...


Voilà ! Merci pour l'énigme...

(J'ai préféré le programme au calcul brutal, car trop de cas à séparer, et bien plus élégant à programmer... )

Posté par master_och master_och

bonsoir

Très dûr cette énigme !!
tout d'abord on a un univer de C₄₈⁵ = 1 712 304 possibilités,4 cas se présentent:

- 1^ercas (les couleurs des 4 cartes des joueurs sont différentes):

voici les résultat que je trouve:
  - 432 cas permettant à infophile de gagner par quinte flush
  - 15 175 par carré
  - 136 007 par full
  - 36 432 par couleur
  - 34 243 par quinte
  - 179 688 par brelan
  - 357 216 par double paire
  - 218 880 par brelan



-2^èmecas(le roi et le As de manpower ont les couleurs des dix d'infophile)

  - 303 par quinte flush
  - 15 178 par carré
  - 136 032 par full
  - 0 par couleur
  - 35 373 par quinte
  - 188 278 par brelan
  - 362 160 par double paire
  - 225 720 par paire


-3^ème cas(le As a la couleur d'une dix le roi et de couleur différente)

  - 389 par quinte flush
  - 15 176 par carré
  - 136 015 par full
  - 18 216 par couleur
  - 34 808 par quinte
  - 183 983 par brelan
  - 359 688 par double paire
  - 222 300 par paire



-4^ème cas (le roi a la couleur d'une des dix le As et de couleur differente)

  - 346 par quinte flush
  - 15 177 par carré
  - 136 024 par full
  - 18 216 par couleur
  - 34 808 par quinte
  - 183 983 par brelan
  - 359 688 par double paire
  - 222 300 par paire



Pour être honnête je n'ai traité que le premier cas à la main (d'ailleur j'essayerai de poster ma démo dès que j'aurai le temps) et ce qui m'a rassurer des résultats trouvés c'est que les résultats obtenus à la main coincident parfaitement avec ceux obtenu par programmation, pour les trois autres cas ce sont des résultats purement obtenus par programmation sans vérification à la main.

enfin merci pour l'énigme .

Posté par rozar (invité)

la paire de 10 étant une main faite il y plus de chance qu'elle l'emporte mais en headup le as roi a plus de out de la paire de 10.
j'aurai donc dix 60 pour cent pour la paire de 10 et 40 pour 100 pour l'as roi

Posté par lololapiplette (invité)

100% à ce moment

Posté par Belenos (invité)

0

parce que manpower à la force avec lui

Mouahahahahah !!!!

Posté par Mathieucote Mathieucote

Salut
j'ai utilisé les séries et j'arrive finalement à un résultat...
en espérant ne pas avoir fait trop d'erreurs de calculs, je dirais que Infophile à environ 69% de chance de gagner alors que manpower à environ 31% de chance de gagner

merci pour l'énigme
mathieu

Posté par simon92 simon92

bonjour tout le monde,
Je n'ai vraiment pas réfléchit a cette énigme mais j'ai entendu un jour parlé de ce cas de figure et il l'ont m'avait dit que c'était une situation connue au poker et qui avait un nom (je me souviens plus du nom) et qu'ainsi, les deux joueurs avaient autant de chance de gagner... Mais je ne suis vraiment pas sur de moi
Ma réponse est donc: P(I)=1/2

Posté par placebo33 (invité)

La provabilité de l'évenement inverse c'est à dire que infophile perde à ce stade du jeu est qu'une Dame ou un Roi sorte en carte commune soit 3 cartes * 2 = 6 cartes sur 48 restantes en jeu (52 - 4 cartes distribuées) en simplifiant on obtient 1/8ème.

La probabilité qu'infophile gagne est donc de 1 - 1/8eme soit 7/8eme = 0.875
La probabilité arrondie à l'unité près est donc de 1.

Posté par puisea puisea

Bonjour

Merci à votre participation à cette énigme.

Un petit commentaire tout de même Il est clair que cette énigme était loin d'être simple tout du moins en temps de recherche.La meilleure solution était sans aucun doute la programmation même si le code ne doit pas être forcément très simple...

Ceci étant dit, le dénombrement à la main des possibilités était très long mais accessible. Vous avez pu remarquer qu'en fonction des couleurs des cartes, cela changeait les probabilités, mais ce changement infime ne change pas le résultat qui lui est arrondi.

Pour la réponse de master_och, j'ai donné un smiley, car si l'on fait la moyenne des cas qu'il propose et que l'on passe à l'arrondi, on a bien 57%.

@+

Posté par lyonnais lyonnais

Salut puisea

J'avais également "trouvé" 57%, mais c'était pas glorieux.

J'ai trouvé sur le net (daily....) une vidéo qui représentait parfaitement la situation, et il mettait les probabilité à chaque tour.

Enfin, je n'avais aucun mérite la dedans, donc je n'ai pas posté.

Très belle énigme en tout cas

Posté par jamo jamo

Comme la question demandait d'arrondir la probabilité à l'unité, j'avais bien envie de répondre "1 arrondi par excès", puisqu'une probabilité est un nombre entre 0 et 1 !

Posté par puisea puisea

Salut jamo. Je n'avais pas pensé à ca en effet

Posté par master_och master_och

Bonjour


En effet pour le deuxième cas(les couleurs des 10 de infophile ont les mêmes couleurs que le roi et le As de manpower)la probabilité devient effectivement 56% et c'est déjà confirmé par Eric.

A propos de la démo par le denombrement à la main, j'ai essayer de la rédiger et je suis arrivé jusqu'au cas du full(et comme je l'ai déja signalé il y a une coicidance parfaite avec les resultats fournie par programmation) et celà s'est avéré trop long (et je ne sais même pas si ce sera bien compréhensible), donc j'ai annulé le travail et tonmieu pour moi car ce travail a déjà été effectué par Eric .

Posté par infophile infophile

Merci pierre pour l'énigme

J'ai essayé mais pas réussi !

Posté par puisea puisea

Salut Kevin,

Mais de rien, disons que je me suis retrouvé face à cette situation, en faisant all in avec paire de 10, et le seul qui m'a suivi avait As-Roi... après coup j'ai voulu savoir quelles étaient mes chances dans cette situation

Posté par infophile infophile

Accro au poker à ce que je vois

Posté par puisea puisea

On peut dire ca oui Mais l'abus de poker étant néfaste à la santé, la prépa devrait m'aider sur ce point de vue

Posté par Eric1 Eric1

Moi aussi j'aime le poker. Mais pas trop l'occasion de jouer...

Posté par master_och master_och

bonsoir

Moi je n'ai connu les régles du poker que grace à cette énigme et donc grace à puisea (mais je n'ai encore fait aucune partie )

Bref, vu que la démo effectué par Eric n'est pas si exacte et que j'ai déjà effectué environ 30% du travail, je vous présente  ma demonstration de la probabilté trouvée au cas où les 4 cartes sont de couleurs différentes, je noterai les cartes de infophile T1 et T2, et je noterai les cartes de manpower K3 et A4 (les indices indiquent les couleur des cartes):
- calculons tt d'abord les cas qui permettent à infophile de gagner  par quinte flush:
pour obtenir une quinte flush on doit avoir un des cas suivants
- AKQJ ayant tous la couleur d'une des dix de infophile, ce cas peut se présenter dans 44 possibilité(puisque la cinquième carte peut être n'importe quel carte des 44 cartes restantes)
  - KQJ9 x 43 (la cinquième carte peu être n'importe quelle carte des 44 restantes à part le As car cette possibilité a déjà etait calculé précédement)
  - QJ98 x 43
  - J987 x 43
  - 6789 x 43


- carré: pour obtenir un carré gagnant à infophile il suffit d'avoir les 2 autres dix dans les 5 cartes communs à l'exception de 5 possibilté:
3 de ces possibilités présentent une quinte flush a manpower qui sont:
  - 9₃T₃T₄J₃Q₃
  - T₃T₄J₃Q₃A₃
  - T₃T₄J₄Q₄K₄

2 possibilités présentent un carré plus fort pour manpower qui sont:
  - T₃T₄K₁K₂K₄
  - T₃T₄A₁A₂A₃

à part ces 5 cas toute possibilité contenant T₃T₄ présente un carré gagnant pour infophile soit


- full: là ça devient plus compliqué j'ai subdivisé le travail en deux parties sans prendre en compte l'intersection du full avec la quinte flush (ce sera fait à la fin):
  1ère partie: le brelan est constitué de 3 dix c a dire qu'une des cartes communes doit être une dix donc la première carte a 2 possibiltés (T3 ou T4):
  2 cas se présentent:
     - 1er cas :la paire est inferieur à dix
       2 sous cas se présentent:
           - 1er sous cas : la paire est en effet un brelan mais elle est comptée comme paire car sa valeur est inferieur à dix:
- les 3 cartes suivates auront donc C₄³ x 8 = 32 possibilités (chaque carte de 2 à 9 (ce qui fait 8 valeurs différentes) a 4 couleur différentes qu'on doit prendre 3 à 3 (C₄³)).
- la 5ème est dernière carte aura 48 - 2 - 4 = 42 possibilités
48 étant les cartes restantes autres que T1T2R3A4
2 étant les cartes T3 et T4(l'une étant déja une carte commune l'autre ne doit pas figurer pour éviter les carrés qui ont déjà été calculés)
4 étant les quatres couleur de la paire utilisé (3 étant déjà introduit et on doit éviter la quatrième pour éviter le carré)
ce qui fait donc 2 x 32 x 42 = 2688 pour ce 1er sous cas
           - 2ème sous cas: on n'a que 2 cartes présentant la paire:
- les 2 cartes suivantes (c.a.d aprés le dix) ont C₄² x 8 = 48 possibilités
- les 2 dernière cartes ont C₄₂²- 2 x C₃² - 2 x C₄² = 843 possibilités
C₄₂² présentent toutes les combinaisons possibles de deux cartes pris parmi 48 - 2 - 4(2 pour T3 et T4, 4 pour les cartes pris comme paire)
2 x C₃²pour illiminer les cas des paires consititués par les Roi et les As(car dans ce cas on n'a plus une paire inferieur à dix)
2x C₄² pour illiminer les cas des paires de Q et de J.
ce qui fait donc 2x 48 x 843 = 80 928possibilités
il reste maintenant un petit détail à ne pas oublier
-/ pour le cas où notre paire est une 8 on doit illimliner pour les 2 dernières cartes les cas qui présentent une paire de 9 car dans ce cas notre paire ne sera plus une paire de 8 soit 2 x C₄² x C₄²possibilités  à illiminer qui en effet ont été calculés 2 fois précdement.
la première C₄² pésente les combinaisons de paires de 8 la 2ème C₄² présente les combinaisons de 9 le 2 présente T3 et T4.
-/pour le cas où notre paire est une 7 on doit se méfier des paires de 9 et de 8 cette fois soit 2 x C₄² x (2 x C₄²)possibilités
.
.
et ainsi de suite jusqu'au cas de paire de 2 où on doit illiminer tous les paires constitués des nbres entre 3 et 9 soit 2 x C₄² x ( 7 x C₄²)possibilités.
ce qui fait donc en tout 2 x C₄² x C₄² x (1+2+3+4+5+6+7) = 2016 possibilités à illiminer.

on obtient donc pour ce sous cas 80 928 - 2016 = 78 912.
donc on obtient pour notre premier cas 78 912 + 2688 = 81 600 possibilités.

     - 2ème cas: la paire est constituée de cartes supérieures à 10:
3 sous cas se présentent:
          - 1er sous cas:la paire est un J:
on a pour ce cas 2 x C₄² x (C₄₂² - 2 x C₃² - C₄²) = 10 188 possibilités(tout est presque expliqué précedement ...)
          - 2ème sous cas: la paire est une dame:
on a pour ce cas 2 x C₄² x (C₄₂² - 2 x C₃²) = 10 260 possibilités.
          - 3ème sous cas: la paire est un roi ou un As
dans ce 3 ème cas on a une dix comme première carte, puis 2 roi ou deux As puis deux cartes qui ne doivent contenir aucune dix, aucun roi et aucun As (car dans ce cas manpower aura soit un carré soit un full plus fort que celui de infophile )et aucune paire quelque soit sa valeur car manpower aura un full plus fort.
donc on a 2 x (2 x C₃²) x (C₄₀² - 10 x C₄²) = 8640
2 pour T3 ou T4
2 x C₃² pour calculer les paires de Roi et de As
C₄₀² pour prendre les 48 - 2 - 3 - 3 = 40 cartes (2 pour illiminer T3 et T4,3 pour illiminer K1,K2 et K4, 3pour illiminer A1,A2 et A3) 2 à 2
10 x C₄² pour illiminer tous les paires possibles.

on obtient donc pour notre 2ème cas 10 188 + 10 260 + 8 640 = 29 088

ce qui fait 29 088 + 81 600 = 110 688 possibilités pour la première partie.

   2ème partie : le brelan est différent de 10
2 cas se présentent:
      -1er cas:le brelan est inférieur à 10:
les 3 premières cartes présentent un brelan inférieur à 10 (les valeurs varient entre 2 et 9 soit 8 valeurs)ce qui fait C₄³ x 8 = 32 possibilités
les 2 derniéres cartes doivent être différentes de dix(car dans ce cas notre brelan sera constitué de dix ce qui a déjà été calculé dans la 1ère partie), Roi et de As(car dans ce cas le full de manpower sera plus fort) de même on doit pas avoir une paire de Q ou de J (car dans ce cas le full le plus fort sera commun pour les deux joueur c.a.d on aura une égalité).
soit C₃₆² - 2 x C₄² =  618 possibilités
C₃₆² pour prendre les 48 - 2 - 3 - 3 - 4 = 36 (2 pour T3 et T4, 3 pour R1,R2 et R4, 3 pour A1,A2 et A3, 4 pour les 4 cartes présentants la valeur du brelan(afin d'éviter le carré)) 2 à 2.
ce qui fait pour ce premier cas 32 x 618 = 19 776 possibilités.

       -2ème cas: le brelan est supérieur à 10:
on ne peut avoir que des Q ou des J pour ce cas car si le brelan est constitué de Roi ou de As pour Infophile, manpower aura un carré.
les 3 premières cartes présenteront un brelan de J ou de Q ce qui donne C₄³ x 2 = 8possibilités.

les 2 derniéres cartes doivent être différentes de Roi et de As(car dans ce cas le full de manpower sera plus fort) en plus on doit pas avoir une paire de Q dans le cas où le brelan est de J ou une paire de J dans le cas où le brelan est de Q(car dans ce cas le full le plus fort sera commun pour les deux joueur c.a.d on aura une égalité), de même on doit pas avoir une paire de dix (car dans ce cas on aura un carré de 10).
on a donc C₃₈² - C₄² -1 = 696 possibilités pour les 2 dernières cartes.
on obtient donc pour ce cas 8 x 696 = 5568 possibilités.
ce qui fait 5568 + 19776 = 25344 pour cette 2ème partie soit 25 344 + 110 688 = 136 032 possibilités en tout pour le cas du full sans illiminer l'intersection du full avec la quite flush.
ce qui reste à faire est d'illiminer les cas présentant une quinte flush:
l'intersection avec la quinte flush ne donnera que des quinte flush permettant a manpower de gagner et ce sera sous les 3 formes suivantes:
  - première forme:
      - les 4 premières cartes ayant une seule forme 9₃T₃J₃Q₃, il est claire que cette forme permet de former une quinte flush gagnante à manpower et asuure un brelan de dix à infophile.
      - il reste a former une paire à l'aide de la cinquième carte qui sera soit une des 3 neufs restantes, soit une des 3 J restantes, soit une des 3 Q restantes.
ce qui fait 9 possibilités pour cette première forme.
  - deuxième forme:
     - les 4 première cartes auront la forme suivante T₃J₃Q₃A₃, ce qui permet une quinte flush pour manpower et un brelan de dix pour infophile.
     - la ciquième carte doit former une paire avec l'une des cartes présentes, c.a.d soit une des 3 J restants, soit une des 3 Q restantes soit un des 2 As restants.
ce qui fait 8 possibilités pour cette forme.
  - troisième forme:
    - les 4 première cartes auront la forme suivante T₄J₄Q₄K₄
    - la dernière carte sera soit une des 3 J restants, soit une des 3 Q restantes soit un des 2 R restants.
ce qui fait 8 possibilités pour cette forme.
l'intersection du full avec la quinte flush donne alors 9 + 8 + 8 = 25 possibilités.
    

et voilà j'espère que tout est bien expliqué jusqu'au là au moin, s'il y aura des mathiliens qui s'interessent à la suite de la démo je poursuiverai sinon pas la peine de la poster pour moi même .

Posté par gui_tou gui_tou

master_och