Fonction monotone sur un intervalle: dérivable en un point?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour à tous,

Je crois que je suis tombé sur THE exercice irrésolvable.
Voici la vilaine bébête:



Pour ceux qui vont me poser la question: oui, l'énoncé est donné en son intégralité; non, il n'y a pas d'autres hypothèses.

Une idée?


.

Posté par romu romu

Salut ayoub, je ne sais pas si ça peut te servir, mais il y a ces théorèmes:

Soit une fonction monotone , où est un intervalle quelconque de .
est continue sauf en un ensemble au plus dénombrable de points.

et le théorème de la limite monotone:

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour romu,

Bon, c'est que je voulais démontrer dans un premier temps. Merci.
Est ce que ce théorème est difficile à démontrer ou pas?

Posté par romu romu

je ne les ai pas trouvés facile quand je les étudiais.

Posté par Ksilver Ksilver

non il est trivial quand on connait l'astuce.

l'idée c'est de construire une injection de l'ensemble des point ou f est discontinue dans Q.

Posté par Ksilver Ksilver

d'apres Wikipédia : "une fonction monotone, et plus généralement une fonction à variation bornée, est dérivable presque partout"


je cherche une démo ...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Et moi, je cherche une démo pour ton post 17:55. Merci à vous deux.

Posté par otto otto

Si tu cherches une démo de ce résultat, vas faire un tour dans

W.Rudin "Real and complex analysis" chapitre 7, il existe au moins une version francaise éditée par Dunod (et mal traduite).

Posté par otto otto

Mon post s'adressait à Ksilver.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut otto,

Trop fort pour mon humble cerveau.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ah, heureusement que tu l'as précisé. Je retire mon post 18:49.

Posté par otto otto

Trop fort pour mon humble cerveau.
Trop humble aussi visiblement
En fait, ca demande un peu de travail et ce n'est pas la partie que je préfère en analyse, mais le résultat est assez puissant et joli .

Posté par Ksilver Ksilver

otto : je regarderai surement ca dès que j'aurais acces à une bibliothèque alors ^^


Schumi : si f est discontinu en x, f admet une limite a droite et a gauche en x qu'on note f(x+) et f(x-), avec f(x-)<f(x+)

donc ]f(x-),f(x+)[ contiens au moins un rationelle, qu'on note r(x)

on vérifie que r est une injection de l'ensemble des point de discontinuité dans Q. (suffit de dire qu'elle est injective quoi ^^ )

Posté par Belge-FDLE Belge-FDLE

Salut à tous,

Jolie démonstration Ksilver, j'ai juste une question. En fait je suis pas sûr que ce soit un problème, mais comment fais-tu pour choisir ce rationnel r(x).

Je suis d'accord avec ta démo mais c'est le fait de prendre un rationnel comme ça qui me gêne un peu, sans que je sache pour autant vraiment pourquoi .

Voilà. A +

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Au pif je pense, non?

Posté par Ksilver Ksilver

Ba telle que je l'ai ecrit c'est une utilisation naive de l'axiome de choix en fait... donc comme dit Schumi on le prend "au pif"


mais on peut ce passer de l'utiliser. on peut considérer l'ensemble des rationelle compris entre f(x+) et f(x-) ecrit sous forme iréductible,et par exemple prendre celui qui a le plus petit dénominamiteur(en cas d'égalité on prend parmis ceux qui ont le plus petit dénominateur, celui qui a le plus petit numérateur) en gros on utilise que Q est munie d'un bonne ordre pour éviter l'axiome du choix

Posté par Belge-FDLE Belge-FDLE

OK, merci pour l'explication

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ksilver >> Si tu as désormais accès à une bibliothèque et plus précisemment au livre cité par otto (W.Rudin "Real and complex analysis" chapitre 7) et que tu y trouves la démo de ce résultat, est ce que tu peux le poster, stp? Enfin, quand tu auras un temps, sure...

Merci d'avance.

Ayoub.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Dans le rudin, le résultat prouvé est beaucoup plus fort puisque une fonction monotone est presque partout dérivable

Posté par Rodrigo Rodrigo

Oups ca a deja été dit désolé...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Tu l'as, ce livre?

Posté par Rodrigo Rodrigo

Je l'ai eu lu...ma bibliothèque doit surment l'avoir encore

Posté par otto otto

En gros voici les idées: (chapitre 7 exercice 12 ou 13 je crois)

Une fonction monotone g est discontinue seulement en un nombre au plus dénombrable de points.

On peut donc trouver une fonction f qui soit continue à gauche et qui coincide avec g partout sauf peut etre en un nombre au plus dénombrable de points.

Une fonction continue à gauche défini une mesure de la facon suivante:
il existe une mesure telle que
(Lebesgue-Stieltjès)

On peut ensuite utiliser le théorème de décomposition de Lebesgue pour dire que s'écrit
où h est une fonction L^1 pour la mesure de Lebesgue et s une mesure singulière par rapport à la mesure de Lebesgue.

On a alors d'après le théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym que f'=h presque partout (pour la mesure de Lebesgue).
Puisque f et g coincident p.p. on a que g'=h p.p.

Cas particulier:
Puisqu'un intervalle non vide et non réduit à un point est de mesure non nulle, il existe nécessairement un point pour lequel la dérivée existe.

Ici on n'a probablement pas besoin de ce résultat, je répondais principalement aux questions qui suivaient la conversation.

a+

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ah oui, effectivement...

Merci otto pour ces précisions.

Posté par karim karim

je me demande en quoi est ce que le fait d'avoir construit r(x) permet de dire que f est dérivable en au moins un point ?

Posté par otto otto

Karim ­­>> où ?
C'est quoi r(x) ?

Posté par otto otto

En fait en relisant tout, je viens de comprendre ta question.
r(x) permet de répondre à la question sur les discontinuités, mais sur la dérivabilité.
Mais je suis sur qu'en modifiant légement l'idée, on peut montrer ce que l'on veut.

Posté par Ksilver Ksilver

non Karim, r(x) prouve que l'ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable (car il s'injecte dans Q)

Posté par otto otto

Il y'a une autre preuve amusante de ce résultat:

On ne perd rien à supposer que l'on travaille sur un segment.
Puisque la fonction est croissante, elle est bornée et atteint ses bornes aux extremités du segment.

Ainsi, l'oscillation ne peut jamais être trop grande en ce sens que:
Il n'y a qu'un nombre fini de points pour lesquels l'oscillation est plus grande que 1.
Il n'y a qu'un nombre fini de points pour lesquels l'oscillation est plus grande que 1/2.
Il n'y a qu'un nombre fini de points pour lesquels l'oscillation est plus grande que 1/3.
etc.
Il n'y a qu'un nombre fini de points pour lesquels l'oscillation est plus grande que 1/n.


On fait l'union sur N et il n'y a qu'un nombre au plus dénombrable de points pour lesquels l'oscillation est non nulle, c'est à dire des points de discontinuité.

Amusant ...
a+