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fonctions
Posté le 15-08-07 à 23:36
Posté par 
lugia lugia
Bonjour, voilà j'ai un exercice sur les fonctions et j'aimerai savoir si ce que j'ai fais est pour l'instant bon ou non et si vous pourriez m'aider a rectifier mes erreurs svp. Voilà l'énoncé, merci :
On considère la fonction f(x) définie sur I = ]-oo;2[union]2;+oo[ par f(x) = (x/4)+(1/x-2) et on note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; i ; j ) avec pour unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Déterminer le sens de variation de f.
2) Déterminer les limites de f aux bornes de I
3) Montrer que C admet deux asymptotes
4) Etablir le tableau de variations de f.
5) Déterminer la position de C et de son asymptote oblique
6) Tracer les asymptotes à C, les tangentes horizontales éventuelles à C puis C
7) a)Déterminer une équation de TA la tangente à C au point A d'abscisse 4 puis de TB la tangente à C au point B d'abscisse 8 .
b)Tracer TA et TB. Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux tangentes.
8) Démontrer que : pour tout réel x de [3 ; 5], 3/2inférieur ou égal f(x)inférieur ou égal 7/4.
9) Montrer que C admet un centre de symétrie.
Voilà ce que j'ai fait. J'aimerai savoir si c'est bon ou pas pour l'instant. Merci
1) Soit f(x) = (x/4)+(1/x-2) une fonction rationnelle donc dérivable en tout réel de son ensemble de définition I = ]-oo;2[union]2;+oo[
Pour ts x différent de 2
F'(x)= ((-1/((x-2)carré))+1/4)
Je vous épargne les calcules
(x-2)carré supérieur a 0 dc f'(x) inférieur a 0
F est donc décroissante sur]-oo;2[et]2;+oo[
2) on a f(x) = (x/4)+(1/x-2)
Lim x qd x tend vers + l'infini =+l infini dc Lim de x/4 qd x tend vers +l'infini=+l'infini car ¼ strictement sup a 0
Lim (1/x-2) qd x tend vers+l'infini=0
Lim x qd x tend vers -l'infini=- l'infini dc Lim x/4 qd x tend vers -l'infini= -l'infini car ¼ strictement sup a 0
Lim (1/x-2) qd x tend vers -l'infini=0
Lim de x qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=-l'infini dc Lim de x/4 qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=-l'infini
Lim de x qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini dc Lim de x/4 qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini
Lim de (1/x-2) qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=-l'infini
Lim de (1/x-2) qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini
Par addition
Lim f(x)qd x tend vers + l'infini =+l infini
Lim f(x)qd x tend vrs -l'infini=- l'infini
Lim de f(x) qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=- l'infini
Lim de f(x) qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini
Pr les deux dernières lignes je ne suis pas très sur.
Ensuite pr démontrer que f a 2 asymptote, j'ai trouvé la première méthode av la première qui est y=1/4x la je suis sur dc je ne fais pas la démo. Mais pour l'autre asymptote je n'y arrive pas.
Jai établi le tableau de variation pr lequel je suis sur.
Puis pour la position de c et de son asymptote je fais la différence de f(x)-(1/4x)
J'étudie le signe de la différence et tous… là aussi ca va.
Ensuite ca se gatte j'aimerai savoir comment on fait pour répondre aux questions 8 et 9 svp.
Est-ce que vous pourriez me dire si ce que j'ai fais pour l'instant est correct ou non et me donner quelques indications svp.
Merci d'avance pour tout.
lugia lugiaBonjour, voilà j'ai un exercice sur les fonctions et j'aimerai savoir si ce que j'ai fais est pour l'instant bon ou non et si vous pourriez m'aider a rectifier mes erreurs svp. Voilà l'énoncé, merci :
On considère la fonction f(x) définie sur I = ]-oo;2[union]2;+oo[ par f(x) = (x/4)+(1/x-2) et on note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; i ; j ) avec pour unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Déterminer le sens de variation de f.
2) Déterminer les limites de f aux bornes de I
3) Montrer que C admet deux asymptotes
4) Etablir le tableau de variations de f.
5) Déterminer la position de C et de son asymptote oblique
6) Tracer les asymptotes à C, les tangentes horizontales éventuelles à C puis C
7) a)Déterminer une équation de TA la tangente à C au point A d'abscisse 4 puis de TB la tangente à C au point B d'abscisse 8 .
b)Tracer TA et TB. Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux tangentes.
8) Démontrer que : pour tout réel x de [3 ; 5], 3/2inférieur ou égal f(x)inférieur ou égal 7/4.
9) Montrer que C admet un centre de symétrie.
Voilà ce que j'ai fait. J'aimerai savoir si c'est bon ou pas pour l'instant. Merci
1) Soit f(x) = (x/4)+(1/x-2) une fonction rationnelle donc dérivable en tout réel de son ensemble de définition I = ]-oo;2[union]2;+oo[
Pour ts x différent de 2
F'(x)= ((-1/((x-2)carré))+1/4)
Je vous épargne les calcules
(x-2)carré supérieur a 0 dc f'(x) inférieur a 0
F est donc décroissante sur]-oo;2[et]2;+oo[
2) on a f(x) = (x/4)+(1/x-2)
Lim x qd x tend vers + l'infini =+l infini dc Lim de x/4 qd x tend vers +l'infini=+l'infini car ¼ strictement sup a 0
Lim (1/x-2) qd x tend vers+l'infini=0
Lim x qd x tend vers -l'infini=- l'infini dc Lim x/4 qd x tend vers -l'infini= -l'infini car ¼ strictement sup a 0
Lim (1/x-2) qd x tend vers -l'infini=0
Lim de x qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=-l'infini dc Lim de x/4 qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=-l'infini
Lim de x qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini dc Lim de x/4 qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini
Lim de (1/x-2) qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=-l'infini
Lim de (1/x-2) qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini
Par addition
Lim f(x)qd x tend vers + l'infini =+l infini
Lim f(x)qd x tend vrs -l'infini=- l'infini
Lim de f(x) qd x tend vers 2 par valeur inférieur a 2=- l'infini
Lim de f(x) qd x tend vers 2 par valeur supérieur a 2=+l'infini
Pr les deux dernières lignes je ne suis pas très sur.
Ensuite pr démontrer que f a 2 asymptote, j'ai trouvé la première méthode av la première qui est y=1/4x la je suis sur dc je ne fais pas la démo. Mais pour l'autre asymptote je n'y arrive pas.
Jai établi le tableau de variation pr lequel je suis sur.
Puis pour la position de c et de son asymptote je fais la différence de f(x)-(1/4x)
J'étudie le signe de la différence et tous… là aussi ca va.
Ensuite ca se gatte j'aimerai savoir comment on fait pour répondre aux questions 8 et 9 svp.
Est-ce que vous pourriez me dire si ce que j'ai fais pour l'instant est correct ou non et me donner quelques indications svp.
Merci d'avance pour tout.
re : fonctions Posté le 15-08-07 à 23:45
Posté le 15-08-07 à 23:45Posté par drioui (invité)
salut
essaye de determiner le signe de f'(x) pour cela tu dois reduire au meme denominateur
salut
essaye de determiner le signe de f'(x) pour cela tu dois reduire au meme denominateur
re : fonctions Posté le 15-08-07 à 23:46
Posté le 15-08-07 à 23:46Posté par gui_tou gui_tou
Je pense que tu as déduis un peu vite :
d'accord pour^2\ge0)
mais ca ne dis en rien que f' est positive sur I !
Mets^2})
sous le même dénominateur et dis moi si f' est positive sur I 
gui_tou gui_touJe pense que tu as déduis un peu vite :
Citation :
(x-2)carré supérieur a 0 dc f'(x) inférieur a 0
F est donc décroissante sur]-oo;2[et]2;+oo[
(x-2)carré supérieur a 0 dc f'(x) inférieur a 0
F est donc décroissante sur]-oo;2[et]2;+oo[
d'accord pour
mais ca ne dis en rien que f' est positive sur I !
Mets
re : fonctions Posté le 15-08-07 à 23:53
Posté le 15-08-07 à 23:53Posté par gui_tou gui_tou
En ce qui concerne les asymptotes tu dois t'être embrouillé(e).
Ne pas confondre asymptote oblique et verticale.
Ici il n'y en a qu'une de chaque sorte.
gui_tou gui_touEn ce qui concerne les asymptotes tu dois t'être embrouillé(e).
Ne pas confondre asymptote oblique et verticale.
Ici il n'y en a qu'une de chaque sorte.
re : fonctions Posté le 15-08-07 à 23:55
Posté le 15-08-07 à 23:55Posté par gui_tou gui_tou
Elle est asymptote à C ? Sur quel intervalle ?
gui_tou gui_touCitation :
la première [asymptote]qui est y=1/4x
la première [asymptote]qui est y=1/4x
Elle est asymptote à C ? Sur quel intervalle ?
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 00:35
Posté le 16-08-07 à 00:35Posté par lugia lugia
Et bien je dis que la droite delta d'équation y=1/4x est asymptote aC en + et - l'infini. Sinn je ne comprend pas ou est le problème
Merci pour le reste
lugia lugiaEt bien je dis que la droite delta d'équation y=1/4x est asymptote aC en + et - l'infini. Sinn je ne comprend pas ou est le problème
Merci pour le reste
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 00:42
Posté le 16-08-07 à 00:42Posté par lugia lugia
et quand je met au mème dénominateur et que je simplifie je trouve f(x) négatif
lugia lugiaet quand je met au mème dénominateur et que je simplifie je trouve f(x) négatif
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 10:45
Posté le 16-08-07 à 10:45Posté par cailloux cailloux 
Bonjour,
Tes limites sont justes.
L' asymptote oblique d' équation
aussi.
Pour la seconde asymptote:
Tu as des limites infinies en 2 (valeur interdite): cela signifie que la droite verticale d' équation
est asymptote à (C).
Pour les variations, ça se gâte:
Tu as:=\frac{1}{4}-\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{x(x-4)}{4(x-2)^2})
A toi d' étudier le signe de cette dérivée pour avoir les variations...
On ne peut guère faire la 8 et la 9 avant d' avoir les variations de ta fonction et tracé la courbe.
cailloux cailloux Bonjour,
Tes limites sont justes.
L' asymptote oblique d' équation
Pour la seconde asymptote:
Tu as des limites infinies en 2 (valeur interdite): cela signifie que la droite verticale d' équation
Pour les variations, ça se gâte:
Tu as:
A toi d' étudier le signe de cette dérivée pour avoir les variations...
On ne peut guère faire la 8 et la 9 avant d' avoir les variations de ta fonction et tracé la courbe.
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 11:12
Posté le 16-08-07 à 11:12Posté par gui_tou gui_tou
Bonjour cailloux
Pour l'asymptote oblique j'avais lu
Attention à l'écriture !
gui_tou gui_touBonjour cailloux
Pour l'asymptote oblique j'avais lu
Attention à l'écriture !
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 11:43
Posté le 16-08-07 à 11:43Posté par cailloux cailloux
Re,
En principe tu dois obtenir un tableau de variation dans ce goût là:
}&&+&0&-&||&&-&0&+&\\\hline\\{}&&&-\frac{1}{2}&&||&+\infty&&&&+\infty\\{f(x)}&&\nearrow&&\searrow&||&&\searrow&&\nearrow\\{}&-\infty&&&-\infty&||&&&\frac{3}{2}\\\end{tabular})
Une accolade dont je n' arrive pas à me débarasser
cailloux cailloux Re,
En principe tu dois obtenir un tableau de variation dans ce goût là:
Une accolade dont je n' arrive pas à me débarasser
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 13:28
Posté le 16-08-07 à 13:28Posté par cailloux cailloux
8) Sur![3$[3,4]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$[3,4])
, 
est décroissante d' où \leq f(x)\leq f(3))
, c' est à dire \leq \frac{7}{4})
Sur![3$[4,5]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$[4,5])
, )
est croissante d' où \leq f(x)\leq f(5))
, c' est à dire \leq \frac{19}{12}< \frac{7}{4})
.
On en déduit que sur![3$[3,5]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$[3,5])
, \leq \frac{7}{4})
9)Avec le graphe de la fonction, on peut conjecturer que le point )
, point d' intersections des asymptotes est centre de symétrie de la courbe.
Pour le démontrer, on peut utiliser plusieurs méthodes:
Changement d' origine du repère:
On fait une translation d' axes qui ramène l' origine du repère en I;
Soit
un point de la courbe. Ses coordonnées sont )
dans le repère )
et M(X,Y) dans le repère )
On a:
d' où l' on tire les formules de transformation:
Ici, le domaine de définition de est centré sur 2 et la première condition est réalisée.
On forme:+f(2-h)}{2}=\frac{\frac{2+h}{4}+\frac{1}{h}+\frac{2-h}{4}-\frac{1}{h}}{2}=\frac{1}{2} )
l' équation 
dans le premier repère devient dans le second:
soit;)
dans le nouveau repère d' origine 
On remarque que:=\frac{-X}{4}+\frac{1}{-X}=-(\frac{X}{4}+\frac{1}{X})=-F(X))
La foction
est donc impaire et la courbe admet comme centre de symétrie dans le nouveau repère.
2ème méthode:
\,\, \text{centre\, de\, symetrie}\,\, \Longleftrightarrow \{a+x\in D_f \Rightarrow a-x \in D_f\\\forall h \,\,\text{tel\,que}\,\, a+h\in D_f,\,\,\frac{f(a+h)+f(a-h)}{2}=b)
Ici, le domaine de définition de est centré sur la valeur 2 et la première condition est réalisée.
On forme:+f(2-h)}{2}=\frac{\frac{2+h}{4}+\frac{1}{h}+\frac{2-h}{4}-\frac{1}{h}}{2}=\frac{1}{2})
Le point est donc bien centre de symétrie de la courbe représentative de
cailloux cailloux 8) Sur
Sur
On en déduit que sur
9)Avec le graphe de la fonction
Pour le démontrer, on peut utiliser plusieurs méthodes:
Changement d' origine du repère:
On fait une translation d' axes qui ramène l' origine du repère en I;
Soit
On a:
d' où l' on tire les formules de transformation:
Ici, le domaine de définition de
On forme:
soit;
On remarque que:
La foction
2ème méthode:
Ici, le domaine de définition de
On forme:
Le point
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 13:51
Posté le 16-08-07 à 13:51Posté par lugia lugia
merci beaucoup j'ai eu beaucoup plus que ce que j'attendais et merci pour tout le mal que vous vous etes donner. j'espère que maintenant quand je ferai d'autres exercice u type je comprendrai aussi bien. merci beaucoup bonne journée.
lugia lugiamerci beaucoup j'ai eu beaucoup plus que ce que j'attendais et merci pour tout le mal que vous vous etes donner. j'espère que maintenant quand je ferai d'autres exercice u type je comprendrai aussi bien. merci beaucoup bonne journée.
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 16:52
Posté le 16-08-07 à 16:52Posté par Epicurien Epicurien
Salut
Cailloux>>Comment fait tu pour repérer un point comme cela avec geogebra?
Trés jolis posts
Kuider.
Epicurien EpicurienSalut
Cailloux>>Comment fait tu pour repérer un point comme cela avec geogebra?
Trés jolis posts
Kuider.
re : fonctions Posté le 16-08-07 à 17:04
Posté le 16-08-07 à 17:04Posté par cailloux cailloux
>> Epicurien
Quand j' ai une fonction définie par)
, je saisis le point d' abscisse 
en faisant par exemple ))
dans la ligne de commande.
Je ne sais pas si cela répond à ta question...
Merci!
cailloux cailloux >> Epicurien
Quand j' ai une fonction définie par
Je ne sais pas si cela répond à ta question...
Merci!
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