Cliquez pour afficher

Je vais tenter un truc mais je suis loin d'en être sûr.
Pour x=0, comme l'intégrale est nulle, on peut conclure que f(0)=0
Pour x différente de 0, il existe e>0, tel que 0<e<x.
soit g(x)=int(0,x)f(t)dt
g est croissante, sauf si f est identiquement nul où g est constante.
On a donc 0<=g'<=k*g
si f n'est pas identiquement nul entre 0 et x, g n'est pas  nul.
g'/g<=k
En intégrant entre e et x : lng(x)-lng(e)<=k(x-e)
Si e -->0 , g(e)-->0 (voir définition de g) et donc le terme de gauche -->+ oo, ce qui rend impossible l'inégalité si g n'est pas constante.
g constant implique f identiquement nul.
C'est bon??

 Cliquez pour afficher

En fait c'est une application du lemme de Gronwall.

 Cliquez pour afficher

niveau terminale ?