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(Double) dérivation

Posté par Melandine (invité) 23-08-07 à 18:31

Une fois de plus...

Bien le re-bonjour.

Voici donc une autre dérivée seconde qui me pose quelques soucis. :/ (La dernière pour cette soirée, c'est promis. )

Ma fonction de base : 3$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}

Fonction dérivée première, calculée par mes soins :

3$f'(x)=\frac{x^3}{x^2-1}' \\ =\frac{(x^3)'.(x^2-1)-(x^3).(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} \\ =\frac{3x^2(x^2-1)-2x(x^3)}{(x^2-1)^2} \\ =\frac{4x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1)^2} \\ =\frac{2x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}

De nouveau, j'aimerais être sûre que mon résulat est exact avant de me lancer dans celui de la dérivée seconde... Voici ce que cela donne pour le moment :

3$f''(x)=\frac{2x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}' \\ =\frac{(2x^4-3x^2)'.(x^2-1)^2-(2x^4-3x^2).((x^2-1)^2)'}{((x^2-1)^2)^2} \\ =\frac{(8x^3-6x).(x^2-1)^2-(2x^4-3x^2).(4x(x^2-1))}{(x^2-1)^4} \\ =...

Dois-je mettre à nouveau "2x(x²-1)" en évidence au numérateur ?...

Mille mercis d'avance pour votre aide

Posté par
Cauchyre : (Double) dérivation 23-08-07 à 18:36

Bonjour,

pour ta dérivée première, à l'avant dernière ligne tu as fait une faute d'étourderie c'est 3x^4 et pas 4x^4.

Posté par
cailloux Correcteurre : (Double) dérivation 23-08-07 à 18:39

Re,

Et tu dois tomber en principe sur:

f''(x)=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}

Posté par
mikayaoure : (Double) dérivation 23-08-07 à 18:43

bonjour

autre petite astuce pour vérifier in fine

si f impaire, alors f' paire et f" impaire

nécessaire mais pas suffisant

Posté par
alex999re : (Double) dérivation 23-08-07 à 22:45

Bonjour,

J'ai essayé de calculer f''(x) en utilisant f'(x)=(x4-3x2)/(x²-1)² (il s'agit ici de la bonne expression de f'(x) sans la maladresse de Melandine dsl) et je trouve f''(x)=2x(x4+2x²-3)/(x²-1)4

Posté par
cailloux Correcteurre : (Double) dérivation 23-08-07 à 22:58

Re,

Oui, alex999 et x^4+2x^2-3=(x^2-1)(x^2+3)...

Posté par
Dremire : (Double) dérivation 23-08-07 à 23:37

Pour tomber directement sur la forme factorisée de f" donnée par cailloux, on peut voir que f^'(x)=1-\frac{1}{x^2-1}-\frac{2}{(x^2-1)^2} .

Posté par Melandine (invité)re : (Double) dérivation 27-08-07 à 19:32

Bonsoir,

Désolée pour le temps mis à répondre. :') Je suis malheureusement toujours coincée, et malgré mes nombreuses tentatives je n'arrive pas à parvenir au résultat que vous me proposez...

Je vous retranscris mon dernier essai, en espérant que vous sachiez m'éclairer davantage sur la manière de procéder plus justement :

3$f(x)''=\frac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}' \\ =\frac{(x^4-3x^2)'.(x^2-1)^2-(x^4-3x^2).((x^2-1)^2)'}{(x^2-1)^4} \\ =\frac{(4x^3-6x).(x^2-1)^2-(x^4-3x^2).(2(x^2-1).2x)}{(x^2-1)^4} \\ =\frac{(4x^3-6x).(x^2-1)^2-(x^4-3x^2).(4x(x^2-1)}{(x^2-1)^4} \\ =\frac{(4x^3-6x).(x^2-1)^2-(x^4-3x^2).(4x^3-4x)}{(x^2-1)^4} \\ =\frac{(4x^3-2x).(3.(x^2-1)^2-(x^4-3x^2).2)}{(x^2-1)^4} \\ =\frac{(4x^3-2x).(3x^4-6x^2+3-2x^4+6x^2)}{(x^2-1)^4} \\ =\frac{(4x^3-2x).(x^4+3)}{(x^2-1)^4} \\ =...

A partir de cette étape, je suis bloquée, ou alors j'hésite à continuer selon la méthode que j'ai à l'esprit... Et qui me semble fausse. :/

Posté par
cailloux Correcteurre : (Double) dérivation 27-08-07 à 20:31

Bonjour,

Tu as fait une erreur à la ligne 5 en factorisant 4x^3-2x (de quel droit ?)

A partir de la ligne 3, ton numérateur est une somme de 2 produits dans lesquels tu peux factoriser 2x(x^2-1)

Fais signe si tu as des difficultés


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