bonjour,

commence par mettre (1 + i) sous forme trigo
puis (1 + i)⁶
puis enfin z

...

|1+i|=V(1²+1²)=V2
V2[(1/V2)(1/V2)]=V2(cos pi/4 +i sin pi/4)=V2^e(i pi/4)
ensuite comment fait on pour se debarasser de la puissance 6

Bonjour.

Avant d'élever à la puissance 6, transforme le nombre complexe en forme trigonométrique.
Ensuite, applique la formule de Moivre.

Exemple a = 1 + i
|a| =
a = ( =

Alors :

A plus RR.

Si tu connais les exponentielles, c'est encore plus simple :



=>

A plus RR.

z = -2(1+i)^6

|z| = 2 * |1+i|^6
|z| = 2 * (V2)^6 = 16

arg(z) = Pi + 6.arg(1+i) + 2kPi
arg(z) = Pi + 6.Pi/4 + 2kPi
arg(z) = 5.Pi/2 + 2kPi

Avec k = -1 --> arg(z) = Pi/2

z = 16.(cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2))

qui est évidemment équivalent à z = 16i
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Sauf distraction.  

1)je ne connais pas la formule de MOIVRE
2)je ne comprends pas comment (pi/4)^6 se transforme en (6pi/4)...
3)je ne comprends pas comment 8.e^(i....;;3pi/2)=-8i
merci

voici le corrigé du 1er nombre complexe:
z=-2(1+i)^6=-2(V2e(i.pi/4)^6=-2*2^3 e^(i.6pi/4)=-16e^(i-3pi/2) (-16 est negatif don n'est pas le module)
=16e^i(-pi)e^(i.3pi/2)=16e^i(3pi/2-pi)=16e^(i.pi/2) (car e^i(-pi)=-1)
d'ou z=[16;pi/2]=16e^(i.pi/2)

je ne comprends pas pourquoi et comment dans 16e^i(-pi) e^i(3pi/2)=16e^i(3pi/2 -pi),
(-pi) passe du 1er membre au second membre...

Florian : si Z = a +bi, on peut aussi écrire z = |z|.e^arg(z)

Donc Z = -2.(V2.e^/4)⁶ = -2.(8.e^3/2).

Et la on applique ce que J-P a dit

Remarque florian 2 que l'énoncé demande la forme trigonométrique de z et que ton corrigé en donne la forme exponentielle complexe.

Il est évidemment facile de passer d'une forme à l'autre, mais il convient quant même de ne pas les confondre.
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Méthode à retenir:

z=-2(1+i)^6
|z| = module de (-2) * [module de (1+i)]^6
arg(z) = arg(-2) + 6*arg(1+i) + 2kPi (avec k dans Z)

svp aidez moi à comprendre le post de 11:19
merci

z = -2(1+i)^6

On a : (1+i) = V2((1/V2) + i.(1/V2)) = V2.(cos(Pi/4)+i.sin(Pi/4)) = V2.e^(i*Pi/4)

--> z = -2(1+i)^6 = -2.[V2.e^(i*Pi/4)]^6
z = -2.(V2)^6. [e^(i*Pi/4)]^6
z = -2*8. [e^(i*6*Pi/4)]
z = -16. [e^(i*3*Pi/2)]

et avec -1 = cos(Pi)+i.sin(Pi) = e^(-i.Pi)

z = 16. [e^(i*3*Pi/2)] * e^(-i.Pi)
z = 16. e^(i*3*Pi/2 - i.Pi)
z = 16. e^(i*Pi/2)

bonjour florian,

il s'agit simplement de calcul algébrique sur des exponentielles :

e^a e^b = e^(a+b)


C'est la même règle que : 2³ 2⁵ = 2⁽³⁺⁵⁾ = 2⁸

...