DEFI: Equation fonctionnelle

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 DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 18:42
Posté par monrow monrow 

Bonjour tout le monde,

Bonjour les amoureux d'équations fonctionnelles 

Bonjour Kévin :D

Je vous propose une petite équation fonctionnelle plus où moins dure 

Citation :
Trouver toutes les applications  continues telles que:

Bonne chance 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 19:40
Posté par infophile infophile

Salut 

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On applique le log 

Pas le temps tout de suite !
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 19:50
Posté par infophile infophile

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Voila j'ai fini de manger :

Alors en posant  il vient  qui est l'équation de Jensen dont les solutions sont les fonctions affines.

Donc ici les solutions sont de la forme 

Merci pour l'exo 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 19:59
Posté par monrow monrow 

Kévin>>
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Bonne appétit (en retard )

pas tout à fait 

avant d'appliquer le log, t'es sûr que f ne s'annule jamais? 

Edit Kaiser
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 19:59
Posté par monrow monrow 

erreur de balises 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 20:06
Posté par monrow monrow 

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sinon il faut me justifier juste pourquoi appliquer le log, le reste est juste 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 20:09
Posté par infophile infophile

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La fonction nulle et la fonction constante égale à 1 sont solutions aussi 

Je pense qu'on peut montrer que c'est croissant, je regarderai ça plus tard.
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 20:25
Posté par infophile infophile

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Euh je dirais :

Ainsi f est positive ou nulle.

Si f s'annule en x (resp. en y) alors  pour tout y donc f est identiquement nulle.

Dans tous les autres cas f est positive et on peut donc prendre le log.

Juste ? 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 20:31
Posté par infophile infophile

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Arf non c'est foireux dès la première ligne 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 20:44
Posté par infophile infophile

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En prenant y=-x on a f(0)²=f(x)f(-x) donc f est de signe constant.

Reste à prouver qu'elle est positive (j'y vais petit à petit msn oblige )
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 20:48
Posté par infophile infophile

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J'ai encore dit une annerie 

Bon je réessaye demain, les maths et msn ne sont pas compatibles ^^
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 28-08-07 à 23:05
Posté par monrow monrow 

Merci Kaiser 

Kevin>>

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très beau monologue 

moomin....., Ah les femmes comme tu dis 

sinon reste attaché à ton premier poste 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 29-08-07 à 02:01
Posté par Tak Tak

Bonsoir,
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Y avait un défi sur les équations fonctionnelles et j'ai failli passer à côté! 

Pour reprendre ce que Kévin a dit, comme pour tout x réel,  et que f est continue, on a f de signe constant. ("strictement" constant puisque si elle s'annule une fois elle est nulle partout)

La fonction identiquement nulle est solution de l'équation.

Considérons maintenant le cas où f est de signe "strictement" constant.

On pose (cf Kévin^^)  pour tout x réel.

Toujours d'après Kévin, on obtient que les seules solutions pour g sont les fonctions affines. (et réciproquement, toutes les fonctions affines sont solutions.....)

D'où (la réciproque est triviale donc je la fais pas ): l'ensemble des solutions de l'équation est l'ensemble des fonctions:

 -  pour tout x réel

 - Il existe des réels a et b et un entier   tels que pour tout x réel,  

Bon, c'était quand même en très grosse partie ce que Kévin a dit, j'ai juste précisé le problème de signe 

Merci pour le défi 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 29-08-07 à 10:07
Posté par nomis nomis

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bonjour 

où peut-on trouver une démonstration de l'équation de Jensen  ?

merci
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 29-08-07 à 12:12
Posté par monrow monrow 

Tak>> Cliquez pour afficher
Tout est bon  On peut simplifier ta solution, pour la définir sur tout IR en une seule expression:  avec  de IR

Nomis>> Cliquez pour afficher
Bien sur qi'il y ait une démonstration mais bon, intuitivement on peut remarques que seuls les fonctions affines qui peuvent être convexes et concaves en même temps, c'est à dire:  et en même temps: 

donc: 

on peut conclure que seules les fonctions affines sont solutions de l'égalité (équation) de jensen. 

C'est pas rigoureux oui, mais c'est bien de la comprendre intuitivement 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 29-08-07 à 12:29
Posté par infophile infophile

Tak >

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Alors comme ça on lit les blanqués 

nomis >

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L'équation de Jensen est un grand classique, tu peux essayer de chercher les solutions en te ramenant à l'équation de Cauchy f(x+y)=f(x)+f(y). 

A toi 
 re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 29-08-07 à 18:08
Posté par Tak Tak

monrow >  Cliquez pour afficher
Effectivement c'est beaucoup plus joli comme ça 

Kévin >  Cliquez pour afficher
Moi?  Non, pas du tout, c'est juste que je te connais tellement bien que j'ai deviné ce que tu avais écrit...:P
  re : DEFI: Equation fonctionnelle Posté le 29-08-07 à 19:21
Posté par infophile infophile

Tak >

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