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nombres complexes,trigonometrie,suite

Posté par Mind (invité) 30-08-07 à 17:18

bonjour

voila l exercice

on pose Fn(x)= 1+ cox/cosx + cos2x/cos²x + .....+ cos n x/cos^n x

1)c1alculer pour tout nombre complexe z la somme Sn(z) = 1+z+z²+...+z^n

2) demontrer qu il existe un nombre complexe z tel que fn(x)= Re[Sn(z)]

3) en deduire que fn (x)= (sin(n+1))/(sin x cos^n x)


comme point de depart sn est une suite geometrique tel que
sn(z)= 1-z^(n+1)/1-z

merci d avance pour tous ceux qui vont m apporter de l aide

Posté par
Camélia Correcteurre : nombres complexes,trigonometrie,suite 30-08-07 à 17:25

Bonjour

En effet tu as bien commencé. Si z1, la formule des sommes de suite géométrique de raison z vaut
S_n(z)=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}

Prends z=\frac{e^{ix}}{\cos x} et... tu peux finir l'exo!

Posté par Mind (invité)re : nombres complexes,trigonometrie,suite 30-08-07 à 23:14

merci pour cette piste mais je ne suis pas sure qu elle soit valable

le z que tu propose camelia ne prend pas en compte la puissasnce n

Fn(x)= 1+ cox/cosx + cos2x/cos²x + .....+ cos n x/cos^n x

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes,trigonometrie,suite 31-08-07 à 10:03

Bonjour,

Avec z=\frac{e^{ix}}{cos\,x}, z^k=\frac{e^{ikx}}{cos^kx}=\frac{cos\,kx}{cos^kx}+i\frac{sin\,kx}{cos^kx}

et F_n(x)=\text{Re}\left[S_n\left(\frac{e^{ix}}{cos\,x}\right)\right]

Posté par Mind (invité)re : nombres complexes,trigonometrie,suite 03-09-07 à 18:48

s il vous plait j ai besoin d aide pour cette question:

deduire que fn (x)= (sin(n+1))x/(sin x cos^n x)

(besoin svp d'une piste la plus rapide pour y redondre)

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes,trigonometrie,suite 03-09-07 à 19:08

Bonjour,

S_n(\frac{e^{ix}}{cos\,x})=\frac{1-\frac{e^{i(n+1)x}}{cos^{n+1}x}}{1-\frac{e^{ix}}{cos\,x}}=\frac{1}{cos^nx}\frac{cos^{n+1}x-e^{i(n+1)x}}{cos\,x-e^{ix}}=\frac{-isin\,(n+1)x}{-icos^nx.sin\,x}=\frac{sin\,(n+1)x}{sin\,x.cos^nx} qui est un réel.

D' où f_n(x)=\frac{sin\,(n+1)x}{sin\,x.cos^nx}

Posté par Mind (invité)re : nombres complexes,trigonometrie,suite 03-09-07 à 20:24

merci beaucoup

sinon excusez moi mais je n arrive pas non plus a trouver la lim x→0 sin(n+1)/sinx cos^n x

piste lim x→0  sin x / x = 1

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : nombres complexes,trigonometrie,suite 03-09-07 à 20:35

Salut

tu as:

3$\lim_{x\to 0}\frac{sin((n+1)x)}{sin(x).cos(x)}=\lim_{x\to 0}(n+1)\frac{sin((n+1)x)}{(n+1)x}\frac{x}{sin(x)}\frac{1}{cos(x)} \\ \\ =\lim_{x\to 0}(n+1)\frac{sin((n+1)x)}{(n+1)x}\frac{1}{\frac{sin(x)}{x}}\frac{1}{cos(x)}

je pense que c'est plus clair

Posté par Mind (invité)re : nombres complexes,trigonometrie,suite 04-09-07 à 09:50

bonjour

je voudrais s il vous plait savoir comment on calcul Fn(0)


merci

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes,trigonometrie,suite 04-09-07 à 10:09

Bonjour,

Là il faut repartir de la définition de F_n.

On trouve sans difficulté, pour x=0, F_n(0)=n+1

Comme \lim_{x\to 0}F_n(x)=n+1=F_n(0), tu peux en conclure ... quoi au fait ?

Posté par Mind (invité)re : nombres complexes,trigonometrie,suite 04-09-07 à 10:55

je ne vois pas


est ce un rapport avec la periodicitée de la fonction ?

Posté par
cailloux Correcteurre : nombres complexes,trigonometrie,suite 04-09-07 à 11:00

Non; as-tu entendu parler de la "continuité d' une fonction"?


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