Forum : exercices :
Défi : Fonctions

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c'est la fonction d'Ackermann

je mettrais le démo plus tard pour laisser les autres....

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C'est le début qui a l'air difficile... oula

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j'ai fais la démo elle fais une page ! de plus je ne suis pas sur du résultat car j'ai bidouillé à ma facon, je trouve

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C'est ça

Sympa cette fonction, elle croît très vite !

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Attention ca c'est de la démo (à la Kévin)

Rappel des propriétés :



Résultat préléminaire :




D'après (3), on a

Toujours d'après (3),

D'après (2),

De ces 3 résultats on déduit que



Et là fastoche :

D'après (3)

D'après (2) et (1), on établit facilement que

Tout ca pour dire , et d'après (1)

On fait un petit résumé :



Maintenant on calcule  

D'après (3) puis (1),

D'après (3) puis (1) (on ne change pas les bonnes habitudes ),
d'où


Du coup,


D'après (3),

Or

De même

-------------

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C'est bon joliiii latex

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Apres tres long calculs que j'ai fait devant NCIS je propose ma solutions
f(2;2)=7 je n'écris pas les calculs dsl trop long

En espérant avoir trouvé

Merci pour ce super exo. Tu pourras en poster d'autre exercice comme ça Kevin stp

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f(2;2)=f(1;f(2;1))=f(1;f(1;f(2;0)))=f(1;f(1;f(1;1)))=f(1;f(1;f(0;f(1,0))))=f(1;f(1;f(0;f(0;1))))=f(1;f(1;f(0;2)))=f(1;f(1;3))=f(1;f(0;f(1;2)))=f(1;f(0;f(0;f(1;1))))=f(1;f(0;f(0;f(0;f(1;0)))))=f(1;f(0;f(0;f(0;f(0;1)))))=f(1;f(0;f(0;f(0;2))))=f(1;f(0;f(0;3)))=f(1;f(0;4))=f(1;5)=f(0;f(1;4))=f(0;f(0;f(1;3)))=f(0;f(0;f(0;f(1;2))))=f(0;f(0;f(0;f(0;f(1;1)))))=f(0;f(0;f(0;f(0;f(0;f(1;0))))))=f(0;f(0;f(0;f(0;f(0;f(0;1))))))=f(0;f(0;f(0;f(0;f(0;2)))))=f(0;f(0;f(0;f(0;3))))=f(0;f(0;f(0;4)))=f(0;f(0;5))=f(0;6)=7

ouf !

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Soit k
On a :
f(1,k) = f(0,f(1,k-1))     (d'après 3/)
       = f(1,k-1) + 1      (d'après 1/)

On en déduit que : f(1,k) = f(1,0) + k = f(0,1) + k (d'après 2/)
Puis d'après 1/
pour k on a :
f(1,k) = k+2

Maintenant les choses se simplifient :
f(2,2 ) = f(1,f(1,f(1,1))) = f(1,f(1,3)) = f(1,5) = 7
Finalement :
f(2,2) = 7

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maintenant on peut un peut plus compliqué les choses, par exemple pour calculer : f(2,k) = f(1,f(2,k-1)) = f(2,k-1) + 2
donc de là on tire : f(2,k) = f(2,2) + 2(k-2) =  2k + 3
on peut continuer à compliquer les choses de cette manière !

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C'est bon

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f(2,2) = f(1,f(2,1))  d'après (3)

Cherchons la valeur de f(1,n)

f(1,n) = f(0,f(1,n-1)) = 1 + f(1,n-1) = ... = n + f(1,0)

Or d'après (2), f(1,0) = f(0,1)  et  d'après (1) , f(0,1) = 2

Donc  f(1,n) = n + 2

Ainsi, f(2,2) = 2 + f(2,1) = 2 + f(1,f(2,0)) = 2 + 2 + f(2,0) = 4 + f(1,1) d'après (2)

Donc : f(2,2) = 4 + 3 = 7

Reste à voir s'il est aussi simple de trouver la valeur de f(n,n)

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Renseigne toi sur la fonction d'Ackermann, explicitement elle a une sale tête

C'est bon

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Avec modération guitou hein