Bonjour !

u et v sont les racines de l'équation :

X²-zX-(p/3)=0

et ?

... et comme on sait trouver les racines d'un trinôme du second degré, on peut donc trouver u et v si l'on connait z

Ok mais sauf que c'est pas dit dans mon énoncé que :

u et v sont les racines de l'équation :

X²-zX-(p/3)=0

non mais les deux nombres vérifiant u+v=z et uv= -(p/3), sont les deux racines de l'équations X²-zX-(p/3)=0

(u²+vu=zu, donc u²-zu-(p/3)=0 et pareil avec v au lieu de u...

En effet, si deux nombres a et b vérifient

a + b = S et ab = P

alors ils sont racines du polynôme x² - Sx +P

ok merci

Mais comment montrer que u^3 et v^3 sont alors les racines de l'équation X²+qX-(p³/27)=0  noté(2)

Aucune certitude mais il suffit de prouver

(ce qui est direct)

et

Et pour cela tu peux utiliser le fait que

pour établir la deuxième égalité, tu peux aussi utiliser le fait que u+v=z soit solution de l'équation du troisième degré.
En remplaçant dans l'équation, z par u+v on retrouve u³ + v³ = -q

Re bonsoir!désolé pour le retard mais je n'ai pas eu le temps de continuer mes recherches.

Je ne parviens pas à trouver : u³ + v³ = -q

j'arrive à: u³+v³-3u²v-3uv²=-q



merci

oops j'ai oublié l'identité remarquable au cube... désolé

Je continue sur la suite du problème..

Reciproquement, soient z1 et Z2 les racines de l'équation X²+qX-(p3/27)=0  noté(2). Montrer que l'on peut trouver une racine cubique de u de z1 et une racine cubique v de z2 telles que uv=-(p/3).

Distinguer deux cas selon le signe de 4p³+27q².

En déduire les racines de (1) z³+pz+q=0  .




J'ai bien compris qu'il falait que je fasse chemin arrière. mais je sais pas où commencer ma démarche.

merci !

Un nombre complexe z1 a une (s'il est nul) ou trois racines cubiques: si u en est une, les 2 autres, éventuellement également nulles, sont et (1,j,j^2 sont les 3 racines cubiques de 1). Pareil pour z2 avec w une de ses racines cubiques. Et   On prend donc v entre tel que .

donc ...

j'ai un peu de mal à comprendre ...

Si on prend une racine racine cubique de z1 et une racine cubique de z2 au hasard, leur produit est une racine cubique de . Il s'agit ensuite d'ajuster le choix des racines cubiques de z1 et z2 pour que leur produit soit (et pas ou dans le cas où ).

Mais c'est quoi w ?

w une racine de z2 comme u est une racine de z1 ?...

Comment viens tu à 4p^3+27q²=27 de (2) ?

w est une racine cubique quelconque (temporaire) de z2: on la change pour v dont le produit avec u égale -p/3. Tu peux voir la chose différemment en distinguant deux cas: trivial et alors comme z1,z2 et u sont non nuls, tu peux prendre directement .

n'a rien à voir avec ce qui précède: calcule simplement le discriminant de (2).

je comprends pas : l'énoncer dit : Distinguer deux cas selon le signe de 4p³+27q².


Il ne dit pas que cette somme est égale 27*DELTA  de (2)...


D'autre part... j'ai toujours pas compris ton raisonnement ... comment on déduit on les racines de (1) ??

Distinguer 2 cas dans ton énoncé est placé tout seul entre 2 questions et ne veut donc pas dire grand chose... Le signe te donnera le nombre de racines réelles de (1).

Tu n'as pas compris comment j'en déduisais les racines de (1), c'est normal, j'attendais que toi tu me le dises: en récapitulant les résultats précédents,
.

voci ce que mon prof m'a écrit:



Dans le b) du 1) il faut distinguer le cas Delta>=0 du cas Delta<0.
Si Delta (discriminant, égal à 4p^3+27q^2 de l'équation du second degré
obtenue) est positif, ses racines z1 et z2 sont réelles, on peut alors
considérer les racines cubiques réelles u et v de ces racines. A quoi
est alors égal uv ? u et v conviennent donc
Si Delta <0, comment sont les racines z1 et z2 de l'équation du second
degré ?
Comment sont alors les racines cubiques de ces racines ? on peut alors
les choisir pour avoir uv réel égal à -p/3
Soient u et v ces racines cubiques choisies. Quelles sont les autres
racines cubiques de z1 et z2 ? (c'est dans le cours) comment organiser
les choix pour que le prosuit d'une racine de z1 par une racine z2 soit
réel....

oui pour p, q réels, mais ma preuve est plus générale: elle marche pour p, q complexes quelconques.

en faite je comprends pas comment on passe de :
uv=-p/z ou uv=-p/3 j  ou uv=-p/3 j²

à

z1=u+v, z2=uj+vj², z3=uj²+vj

Les racines de (1) s'écrivent , avec et .
Donc si , ou puis ou et alors ou ou ;
si , soit et alors donc , soit et alors donc , soit et alors donc .

Lol heu bjr à tous!!En fait c'est bizarre j'ai exactement le même Dm à rendre mercredi Shinobi tu ne serais pas en mpsi à st denis de la réunion??? c'est qui lol ??