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Suites
Bonjour,
j'ai quelques difficultés avec cet exercice sur les suites...mes réponses se trouvent à la fin.
On considère les suites (Un) et (Vn) définies par les relations de récurrence:
U n+1 = (3Un+1) /4 et V n+1 = (3Vn +1) /4
1/Calculer U1, U2, U3 et V1, V2, V3
2/Dans un repère orthonormal (o,i,j), unité graphique 5cm, tracer les droites d et delta d'équations respectives :
y= (3x+1)/4 et y=x
Utiliser d et delta pour construire sur l'axe des abscisses les points A1, A2, A3 d'abscisses respectives U1, U2, U3 ainsi que les points B1, B2, B3 d'abscisses respectives V1, V2, V3.
3/a/ On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par : Sn= Un + Vn
Calculer S0,S1,S2, S3. A partir des résultats obtenus, que peut-on conjecturer pour la suite (Sn)?
b/Montrer que la suite (Sn) est constante.
4/ On considère la suite (Dn) définie pour tout entier naturel n par : Dn= Vn- Un.
a/Montrer que la suite (Dn) est une suite géométrique.
b/Exprimer Dn en fonction de n.
5/En utilisant les résultats des questions 3/b/ et 4/b/, exprimer Un et Vn en fonction de l'entier n.
6/ Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent et préciser leurs limites.
1/U1= 1/4
U2=7/16
U3=37/64
V1=7/4
V2=25/16
V3=91/64
3/a/S0=2 S1=2 S2=2 S3=2
On peut conjecturer que la suite (Sn) est constante.
b/Je ne sais pas comment montrer que cette suite est constante...
Sn+0=2 et ainsi de suite? est-ce suffisant?
raison = 0
4/a/(Dn) est une suite géométrique. Elle est définie par son 1er terme D0 soit V0-U0
D0=2-0 =2 et la relation de récurrence D n+1= b (qui est la raison) * Dn
Dn+1= b * (V0-U0)
Dn+1= b*2
Dn+1= 3/4 *2
Dn+1 =3/2
Je pensais également me servir de:
Dn+1 = Vn+1 - Un+1
Dn+1= (3Vn +1)/4 - (3Un +1)/4
d'où Dn= Vn - Un et Dn+1 = b*Dn
Dn+1 = B ( Vn-Un) <=> Dn+1/ Dn=b, n appartient à N.
<=> (3/2)/ 2
<=>3/4=b
Sinon, pouvez-vous me donner quelques indications pour démontrer que la suite est géométrique?
b/Dn=bn * D0
Dn= bn *2
Dn= (3/4)n *2
5/Un =bn * U0
Un=bn *0
Un=0 ??
Vn=bn*V0
Vn=bn*2
Je n'ai pas trouvé la valeur de b....
6/Soit une suite (Un) , n appartient à N
si lim Un=L (L appartient à R)
quand n tend vers + l'infini
Lim Un=0 quand n tend vers + l'infini
Soit une suite (Vn), n appartient à N
si lim Vn =L (L appartient à R)
quand n tend vers + l'infini
Lim Vn=2
quand n tend vers + l'infini
voilà, si quelqu'un pouvait me donner quelques indications... Merci d'avance
bonjour
pour montrer que Sn est constante, tu calcule S(n+1) et tu doit trouver Sn :
Sn+1 = Un+1 +Vn+1 = ...
Bonjour,
j'ai donc calculé Sn+1 et je trouve [3(Un+Vn)/2
est ce correct? Cependant, je vois bien que je retrouve Sn= Un+ Vn dans mon résultat or, je ne vois pas comment faire le lien?
Sn+1 doit être = à S n
si oui, comment parvenir à le montrer?
Merci d'avance
Je viens de m'apercevoir que j'ai fait une erreur dans ma simplification, je trouve donc que Sn+1=0, tout comme S0, S1, etc
la suite est donc constante ...
et pour la suite de l'exercice?
Merci
Dn+1 = (3Vn+1)/4 - (3Un+1)/4 = (3Vn+1-3Un-1)/4 = (3/4)(Vn - Un) = (3/4)Dn, donc c'est une suite suite géométrique de raison 3/4
Bonjour,
je ne savais pas par quoi remplacer le "r" qui était la raison de la suite Sn.
En faisant les calculs à nouveau, si r=1 j'obtiens la même réponse que vous. Cependant, je pensais que la raison de la suie Sn était de 0 puisqu'elle est constante, on ajoute donc 0 au terme précédent pour obtenir le suivant. Ou, faut-il multiplier le terme par 1 pour obtenir le suivant?
Merci
tu te poses trop de questions, ici il suffit de calculet Sn + Dn et Sn- Dn
sinon, une suite constante peut être considérée soit comme une suite arithmétique de raison 0 soit comme une suite géométrique de raison 1
ok, merci
par contre, pour les suites qui convergent
je pensais Un converge vers 1 mais la limite est-ce - l'infini?
et Vn converge aussi vers 1 puisqu'elle est décroissante au contraire de l'autre
sa limite est-elle 1 également?
pour la limite (toujours quand n tend vers l'infini), il faut se rappeler que
quand -1<q<1, lim qn = 0
quand q > 1, lim qn = +
ici,tu as :
Un = 1-(3/4)n et Vn = 1+(3/4)n
or -1 < 3/4 < 1 donc (3/4)n tend vers +, donc lim Un = lim Vn = 1
Salut à tout le monde
J'ai un petit probleme pour ce meme exercice..
Quand on demande de montrer que la suite Sn est constante j'ai voulu montrer que Sn = Sn+1 ..donc je suis partie de Sn+1 et je trouve que c'est égal à (3(Un+Vn)+2)/4..alors que Sn= Vn + Un .
De plus, je ne trouve pas du tout 0 comme toi pumah je trouve que Sn = 2.
Ensuite smil tu dis que puisque -1 < 3/4 < 1 alors (3/4)n tend vers euh je dirais plutôt que ça tend vers 0 lorsque -1<q<1 non?
Merci d'avance
bonjour cam
j'ai dit :
quand -1<q<1, lim qn = 0
quand q > 1, lim qn = +
d'autre part pour Sn, on peut démontrer qu'elle est constante de la façon suivante :
Sn+1 = (3Un +1)/4 + (3Vn + 1 )/4 = (3Sn +2)/4
puis une démonstration par récurrence : U0 = 2
si Un = 2, Un+1 = (3*2+1)/4 = 2
donc Sn = 2 pour tout n
Bonjour smil, et merci de m'aider pour cet exo !
excuse moi..j'ai un peu du mal à te suivre :$
d'après moi :
Sn+1 = Un+1 + Vn+1 = (3Un+1)/4 + (3Vn+1)/4 = (3Sn + 2)/4 jusque là je t'ai suivie..
Mais on a le droit de dire " Si Un = 2 " comme ça? Pourquoi?
Et pour la suite.. Un+1 = (3*2+1)/4 or 3*2 = (6+1)/4 = 7/4 ça fait pas 2 ..??
Merci 
bien sûr, j'ai fait des erreurs : Sn+1 = (3Sn + 2 )/4
donc si Sn = 2 , alors Sn+1 = (3*2+2)/4 = 2
on fait ici un raisonnement par récurrence : on montrer que la propriété est vraie au rang 0 : S0 = U0+V0 = 0+2 = 2
supposons qu'il existe un rang n pour lequel la propriété est vraie (Sn = 2)
démontrons alors qu'elle est vraie au rang suivant (Sn+1 = 2 )
en effet Sn+1 = (3Sn + 2 )/4 = (3*2+2)/4 = 2
donc la propriété est bien vraie au rang n+1
conclusion : la propriété est vraie pour tout n entier naturel
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