Algebre linéaire:Anneaux (suite)
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Algebre linéaire:Anneaux (suite)
Posté le 17-09-07 à 21:58
Posté par 
robby3 robby3
Bonsoir tout le monde,j'aurais besoin d'un coup de main pour cet exercice...
>> \\ \\ 1)Montrer que si M est un diviseur de 0 de M_n(\R) alors rg(M)<n \\ \\ 2)a)Montrer qu'il existe des elements inversibles P et Q de A=M_n(\R) \\ \\ tels que \\ \\ PMQ soit une matrice diagonale avec r fois 1 et n-r fois 0 sur la diagonale. \\ \\ b)Deduire de a) que M est un diviseur de 0 de A)
J'arrive meme pas à la 1),j'ai juste vu sur wikipedia que les divieurs à droite c'était les matrices non surjectives et à gauche les non-injectives mais je sais pas comment le trouver.
Je me suis dis,M diviseur de 0 de Mn(R) donc pour tout N dans Mn(R),MN=0 (M différent de 0 évidemment)....
Bref je vois pas alors si vous avez une quelconque idée,je suis pret à vous suivre.
Merci d'avance!
robby3 robby3Bonsoir tout le monde,j'aurais besoin d'un coup de main pour cet exercice...
>>
J'arrive meme pas à la 1),j'ai juste vu sur wikipedia que les divieurs à droite c'était les matrices non surjectives et à gauche les non-injectives mais je sais pas comment le trouver.
Je me suis dis,M diviseur de 0 de Mn(R) donc pour tout N dans Mn(R),MN=0 (M différent de 0 évidemment)....
Bref je vois pas alors si vous avez une quelconque idée,je suis pret à vous suivre.
Merci d'avance!
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 17-09-07 à 22:22
Posté le 17-09-07 à 22:22Posté par Nightmare Nightmare
Bonsoir
sauf erreur,
Si l'on appelle
lest vecteurs colonnes on a =dim(Vect((C_{i})_{1\le i\le n})))\le dim(M_{n}(R))=n)
Or rg(M)=n si et ssi M est inversible ce qui n'est clairement pas le cas ici !
Nightmare NightmareBonsoir
sauf erreur,
Si l'on appelle
Or rg(M)=n si et ssi M est inversible ce qui n'est clairement pas le cas ici !
pff j'avais pas vu
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 17-09-07 à 22:32
Posté le 17-09-07 à 22:32Posté par robby3 robby3
j'ai oublié de préciser,pour le 2) M est un élément de Mn(R) de rg<n bien entendu
robby3 robby3j'ai oublié de préciser,pour le 2) M est un élément de Mn(R) de rg<n bien entendu
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 18-09-07 à 13:04
Posté le 18-09-07 à 13:04Posté par kaiser kaiser 
Bonjour à tous
robby > je te conseille de passer par l'application linéaire associée.
Si tu appelles f l'endomorphisme de
telle que M soit la matrice de f dans la base canonique, alors il faut montrer qu'il existe deux bases B et B' telles que la matrice de f dans les bases B, B' soit de la forme voulue (attention, il y a bien deux bases).
En d'autres termes, il faut montrer qu'il existe deux bases})
et })
tel que pour tout i inférieur à r, =f_i})
et pour tout i supérieur à r+1, =0})
.
Pour la première base, tu peux commencer par considérer une base du noyau que tu complètes. Pour la base B', certains vecteurs seront déjà connus (vu ce que l'on veut démontrer).
Sinon, si tu ne veux vraiment pas faire ça, tu peux toujours montrer ça par récurrence, en utilisant le pivot de Gauss (tes matrices P et Q seront alors des produits de matrice de permutation, transvection et dilatation)
Kaiser
kaiser kaiser Bonjour à tous
robby > je te conseille de passer par l'application linéaire associée.
Si tu appelles f l'endomorphisme de
En d'autres termes, il faut montrer qu'il existe deux bases
Pour la première base, tu peux commencer par considérer une base du noyau que tu complètes. Pour la base B', certains vecteurs seront déjà connus (vu ce que l'on veut démontrer).
Sinon, si tu ne veux vraiment pas faire ça, tu peux toujours montrer ça par récurrence, en utilisant le pivot de Gauss (tes matrices P et Q seront alors des produits de matrice de permutation, transvection et dilatation)
Kaiser
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 18-09-07 à 13:09
Posté le 18-09-07 à 13:09Posté par Tigweg Tigweg 
Salut robby3 et kaiser!
J'ai eu une longue coupure internet, content de vous revoir!
Tigweg
Tigweg Tigweg Salut robby3 et kaiser!
J'ai eu une longue coupure internet, content de vous revoir!
Tigweg
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 18-09-07 à 16:45
Posté le 18-09-07 à 16:45Posté par robby3 robby3
Content de vous revoir tout les deux !!
Par contre Kaiser,j'ai bien peur que là,j'ai extremement beaucoup de mal à résoudre l'exercice!
:o
Qu'entends tu par "considérer une base du noyau que tu complètes."???
Désolé mais là,ça va etre dur dur!
robby3 robby3Content de vous revoir tout les deux !!
Par contre Kaiser,j'ai bien peur que là,j'ai extremement beaucoup de mal à résoudre l'exercice!
:oQu'entends tu par "considérer une base du noyau que tu complètes."???
Désolé mais là,ça va etre dur dur!
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 18-09-07 à 19:11
Posté le 18-09-07 à 19:11Posté par kaiser kaiser
Ta base B va être constituée de la manière suivante.
Le noyau de ton application linéaire est un espace vectoriel de dimension finie n-r (car son rang vaut r), donc il admet une base})
.
Par le théorème de la base incomplète, tu peux compléter cette famille libre en une base})
de 
.
Reste à trouver la deuxième base.
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
Qu'entends tu par "considérer une base du noyau que tu complètes."???
Qu'entends tu par "considérer une base du noyau que tu complètes."???
Ta base B va être constituée de la manière suivante.
Le noyau de ton application linéaire est un espace vectoriel de dimension finie n-r (car son rang vaut r), donc il admet une base
Par le théorème de la base incomplète, tu peux compléter cette famille libre en une base
Reste à trouver la deuxième base.
Kaiser
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 18-09-07 à 22:46
Posté le 18-09-07 à 22:46Posté par robby3 robby3
Ok,je comprend ce que tu as fais...
Maintenant faut trouver une base tel que l'on ait r fois 1 sur la diagonale...donc ne fait faut un espace vectoriel de dimension r qui admet comme base (e1,e2,...,er) tel que f(e1)=1,f(e2)=1=...=f(er)=1
Mais comment justifier son existence?
Merci encore de votre soutien!
robby3 robby3Ok,je comprend ce que tu as fais...
Maintenant faut trouver une base tel que l'on ait r fois 1 sur la diagonale...donc ne fait faut un espace vectoriel de dimension r qui admet comme base (e1,e2,...,er) tel que f(e1)=1,f(e2)=1=...=f(er)=1
Mais comment justifier son existence?
Merci encore de votre soutien!
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 19-09-07 à 12:53
Posté le 19-09-07 à 12:53Posté par kaiser kaiser
eh ben, celui engendré par les r derniers vecteurs de la base)})
.
ceci n'a pas de sens.
ces vecteurs doivent vérifier ce que j'ai écrit dans mon tout premier message.
De toutes façons, la matrice nous dit exactement ce que l'on veut.
En effet, vu la forme de cette matrice, on a plusieurs renseignements.
1) si on connait les r premiers vecteurs de la base de départ, on connait les r premiers vecteurs de la base d'arrivée. En effet, si les r premiers vecteurs de la première base sont notés
, et les r premiers vecteurs de la deuxième base sont notés 
, alors pour i inférieurs à r, on aura })
2) les n-r derniers vecteurs sont dans le noyau (c'est pour cela qu'on a commencé par considérer une base du noyau de f)
Précédemment, on déjà déterminé la première base (par contre, pour avoir la matrice voulu, il faut réarranger les vecteurs en plaçant les vecteurs du noyau en dernier).
Bref, il ne reste plus qu'à dire quels vecteurs tu prend pour être les n-r autres vecteurs de la base d'arrivée.
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
donc ne fait faut un espace vectoriel de dimension r
donc ne fait faut un espace vectoriel de dimension r
eh ben, celui engendré par les r derniers vecteurs de la base
Citation :
tel que f(e1)=1,f(e2)=1=...=f(er)=1
tel que f(e1)=1,f(e2)=1=...=f(er)=1
ceci n'a pas de sens.
ces vecteurs doivent vérifier ce que j'ai écrit dans mon tout premier message.
De toutes façons, la matrice nous dit exactement ce que l'on veut.
En effet, vu la forme de cette matrice, on a plusieurs renseignements.
1) si on connait les r premiers vecteurs de la base de départ, on connait les r premiers vecteurs de la base d'arrivée. En effet, si les r premiers vecteurs de la première base sont notés
2) les n-r derniers vecteurs sont dans le noyau (c'est pour cela qu'on a commencé par considérer une base du noyau de f)
Précédemment, on déjà déterminé la première base (par contre, pour avoir la matrice voulu, il faut réarranger les vecteurs en plaçant les vecteurs du noyau en dernier).
Bref, il ne reste plus qu'à dire quels vecteurs tu prend pour être les n-r autres vecteurs de la base d'arrivée.
Kaiser
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 20-09-07 à 14:18
Posté le 20-09-07 à 14:18Posté par robby3 robby3
Bon bah je crois que je verrais ça en TD lundi parce que là,je comprend vraiment pas le pourquoi du comment...
Je te remercie encore de ta bonne volonté et ta patience!
Par contre j'ai une question annexe dont je ne suis pas sur de la réponse...Pour A,B dans Mn(R) la formule (A+B)²=A²+B²+2AB ne marche que si la loi + est associative et . distributif sur +...non?
Parce qu'on me demande de donner une condition nécessaire et suffisante pour que ça marche...
robby3 robby3Bon bah je crois que je verrais ça en TD lundi parce que là,je comprend vraiment pas le pourquoi du comment...
Je te remercie encore de ta bonne volonté et ta patience!
Par contre j'ai une question annexe dont je ne suis pas sur de la réponse...Pour A,B dans Mn(R) la formule (A+B)²=A²+B²+2AB ne marche que si la loi + est associative et . distributif sur +...non?
Parce qu'on me demande de donner une condition nécessaire et suffisante pour que ça marche...
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 20-09-07 à 14:25
Posté le 20-09-07 à 14:25Posté par Camélia Camélia
Salut robby3
La condition nécessaire est suffisante pour ta formule est AB=BA (pour les matrices que tu considères; même si la loi n'est pas commutative, deux matrices peuvent commuter)
Camélia Camélia Salut robby3
La condition nécessaire est suffisante pour ta formule est AB=BA (pour les matrices que tu considères; même si la loi n'est pas commutative, deux matrices peuvent commuter)
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 20-09-07 à 21:43
Posté le 20-09-07 à 21:43Posté par H_aldnoer H_aldnoer
Salut à tous!
On a eut le même exo en td lol, mais j'ai pas compris ceci :
??
H_aldnoer H_aldnoerSalut à tous!
On a eut le même exo en td lol, mais j'ai pas compris ceci :
Citation :
Or rg(M)=n si et ssi M est inversible ce qui n'est clairement pas le cas ici !
Or rg(M)=n si et ssi M est inversible ce qui n'est clairement pas le cas ici !
??
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 20-09-07 à 21:47
Posté le 20-09-07 à 21:47Posté par Nightmare Nightmare
Ben ça se démontre :
Si on appelle f l'endormorphisme de Mn,1(K) représenté par M dans la base canonique, la famille des vecteurs colonnes est une base si et seulement si f est bijective ce qui permet de conclure.
Nightmare NightmareBen ça se démontre :
Si on appelle f l'endormorphisme de Mn,1(K) représenté par M dans la base canonique, la famille des vecteurs colonnes est une base si et seulement si f est bijective ce qui permet de conclure.
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 20-09-07 à 21:55
Posté le 20-09-07 à 21:55Posté par Nightmare Nightmare
Qu'est-ce que tu n'as pas compris en fait? que rg(M)=n si et ssi M est inversible ou que M n'est pas inversible dans notre problème?
Nightmare NightmareQu'est-ce que tu n'as pas compris en fait? que rg(M)=n si et ssi M est inversible ou que M n'est pas inversible dans notre problème?
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 21-09-07 à 14:37
Posté le 21-09-07 à 14:37Posté par Camélia Camélia
Bonjour
Il faut savoir qu'en dimension finie, pour une application linéaire d'un espace E dans lui-même les conditions suivantes sont équivalentes:
f bijective
f injectivef surjective
(ça vient du fait que dim ker f+dim im f=dim E)
Une application est donc bijective si et seulement si elle est surjective, c'est-à-dire si rg(f)=dim E.
Camélia Camélia Bonjour
Il faut savoir qu'en dimension finie, pour une application linéaire d'un espace E dans lui-même les conditions suivantes sont équivalentes:
f bijective
f injectivef surjective(ça vient du fait que dim ker f+dim im f=dim E)
Une application est donc bijective si et seulement si elle est surjective, c'est-à-dire si rg(f)=dim E.
re : Algebre linéaire:Anneaux (suite) Posté le 21-09-07 à 15:59
Posté le 21-09-07 à 15:59Posté par jeanseb jeanseb
Bonjour
La famille des vecteurs colonnes, c'est la famille des images de vecteurs de la base, les f(ei).
cette famille est une base
ssi elle est libre (car elle a n elements)
ssi le déterminant du système est non nul
ssi le déterminant de la matrice M est non nul
ssi f est bijective.
Non?
jeanseb jeansebBonjour
Citation :
la famille des vecteurs colonnes est une base ssi f est bijective
la famille des vecteurs colonnes est une base ssi f est bijective
La famille des vecteurs colonnes, c'est la famille des images de vecteurs de la base, les f(ei).
cette famille est une base
ssi elle est libre (car elle a n elements)
ssi le déterminant du système est non nul
ssi le déterminant de la matrice M est non nul
ssi f est bijective.
Non?
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