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Niveau Maths sup
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Congruence des carrés modulo 5

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
19-09-07 à 21:51

Bonsoir

Je bloque un peu sur cet exo

on défini la relation 3$\sim par: 3$x\sim y\Leftrightarrow x^2\equiv y^2[5]

1- Déterminer l'ensemble quotient

2- Peut-on définir une addition quotient? une multiplication quotient?

Merci

Posté par
Nightmare
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:00

Salut

1. On a 3$\rm cl(x)=\{y\in \mathbb{N}, y^{2}\equiv x^{2}[5]

3$\rm \mathbb{N}/\sim=\{x\in \mathbb{N}, cl(x)\}

Il faut voir ce que valent les cl(x).

3$\rm cl(0)=\{0\}
3$\rm cl(1)=\{1,4\}
3$\rm cl(2)=\{2,3\}
3$\rm cl(3)=cl(2) (car 3$\rm 3^{2}=2^{2}[5])
3$\rm cl(4)=cl(1) (car 3$\rm 4^{2}=1[5])

Au final :
3$\rm \mathbb{N}/\sim=\{\{0\},\{1,4\},\{2,3\}\}

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:03

Salut jord

pour cl(0) c'est pas 5\mathbb{Z}?

Posté par
Nightmare
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:08

Arf si je me suis déjà restreint aux classes d'équivalences.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:09

euuh comment?

Posté par
Nightmare
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:11

En fait j'ai pris x et y dans Z/5Z et non dans N.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:13

oui.. les classes ici appartiennent à IN non?

donc je vais écrire ça: 5$\rm cl(0)=5\mathbb{Z}

Posté par
Nightmare
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:16

Voila c'est mieux. désolé

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:18

et c'est quoi cl(1)?

Posté par
Nightmare
re : Congruence des carrés modulo 5 19-09-07 à 22:27

Ben on étudie les restes modulo 5 des carrés :

Si y=0, y²=0[5]
Si y=1, y²=1[5]
Si y=2, y²=4[5]
Si y=3, y²=4[5]
Si y=4, y²=1[5]

Donc 3$\rm cl(2)=\{y\in\mathbb{N}, y=5k+1 ou y=5k+4, k\in\mathbb{N}\}



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