Forum : analyse :
intégrale avec fonctions spéciales

Bonjour,


  Les intégrales du type peuvent s'exprimer à l'aide de la fonction Bêta.

  Les intégrales du type peuvent s'exprimer à l'aide de la fonction Gamma.


  -> Que dire des intégrales du type ?

Bonjour,

Les intégrales de ce type s'expriment avec les fonctions de Tricomi, qui sont des fonctions spéciales de plus haut niveau que les fonctions Beta, Gamma et beaucoup d'autres fonctions spéciales.
Les fonctions de Tricomi, de Kummer et beaucoup d'autres font elles-même partie d'un genre de fonctions de niveau encore plus élevé : les fonctions hypergéométriques.

Merci beaucoup JJa.

Décidemment je tombe souvent sur ces fonctions hypergéométriques.

Il ne faut pas s'étonner de rencontrer souvent des fonctions hypergéométriques : Elles couvrent un éventail tellement étendu de fonctions !
Comme Monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir, Monsieur Tout-le-monde pratique souvent des hypergéométriques sans le savoir, puisque la plupart des fonctions courantes sont des cas particuliers d'hypergéométriques.
Ce qui est important, lorsqu'on tombe sur une hypergéométrique, est de reconnaitre si la fonction en question est un cas particulier, c'est à dire s'il s'agit, ou non, d'une fonction spéciale répertoriée de plus bas niveau qu'une hypergéométrique proprement dite, tout en faisant partie de l'ensemble de ces fonctions spéciales.

Ouaip JJa, je me suis bien rendu compte de cette "universalité pragmatique" des fonctions hypergéo, et ma réaction a été de me dire que les mathématciens ont bien travaillé.

Mais en fait, ce sur quoi je tombe, ce sont des densités de probabilité qui s'écrivent comme une fonction d'un des paramètres de , les 3 autres paramètres étant fixés, et j'ai l'impression que personne n'a étudié ces densités.

Re JJa,

Exemple:

Si  X  et  Y  sont deux variables aléatoires indépendantes distribuées selon  Gamma(1,1)  et  Beta(c,d)  respectivement, alors la densité de  Z:=X*Y/(1-Y)  est



On peut utiliser ceci pour évaluer par simulation toute intégrale du type avec  c,d>0.

Re JJa,

En utilisant ce qui précède je me suis intéressé à la transformée de Fourier de U et j'ai trouvé cette égalité:



... une sorte de "dualité" entre la fonction de Tricomi et celle de Kummer. Ca te dit quelque chose ?


Et aussi j'ai trouvé:



où F est la fonction hypergéométrique de Gauss ("2 F 1")

... mais bon y'a peut-être quelques erreurs de calcul.

Bonjour stokastik,

J'avoue ne pas avoir vérifié la relation que tu as trouvée entre des intégrales des fonctions de Kummer et Tricomi. Néanmoins, cela me semble bien compliqué pour un usage pratique, en particulier du fait que M(c;-d;-itx) soit dans le domaine complexe.
Indépendemment de cela, diverses relations entre ces fonctions sont connues sous différentes formes, par exemple :

En ce qui concerne la transformation de Fourier appliquée à la fonction de Tricomi, j'avoue ne pas avoir vérifié la formule que tu as trouvée.
En fait, j'ai des craintes à manipuler ces fonctions hypergéométriques dans le domaine complexe: c'est assez piégeant à cause des problèmes de convergence des intégrales et dans certains cas, du polymorphisme des fonctions complexes.
Pour cette fois-ci, je vais donc en rester aux intégrales suivantes qui sont clairement définies dans des limites faciles à préciser pour leurs paramètres.
En principe, la forme de ces intégrales laisse bien à penser qu'elles peuvent s'exprimer avec la fonction hypergéométrique de Gauss, mais pour des valeurs complexes de la variable, ce qui irait donc bien dans le sens de ton résultat (mais sans certitude actuellement en ce qui me concerne).
Bien cordialement,
JJ.