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Exercice avec barycentres et autres...

Posté par
yodeg 21-09-07 à 18:32

Salut à tous.
J'ai un exercice à faire mais, je bloque quand même pas mal dessus donc jaimerais que vous m'aidiez un peu pour me montrer comment faire. Voici l'énoncé :

ABC est un triangle quelconque. Soient trois points A', B' et C, tels que :

Vecteur AC' = 1/4 Vecteur AB

Vecteur BA' = 4/5 Vecteur BC

Vecteur CB' = 3/7 Vecteur CA

1. On considère le repère (A; Vecteur AB ; Vecteur AC)

(a) Déterminer les coordonnées des points A', B', C'.
(b) Déterminer des équations cartésiennes des droites (AA'), (BB') et (CC').
(c) Démontrer, en utilisant les équations trouvées que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.

2. Ecrire cette fois les points A', B' et C' comme barycentres de deux points A, B et C (Justifier les réponses).

3. En utilisant l'associativité du barycentre, redémontrer que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.

Voici l'énoncé donc.

Pour les coordonnées des points A', B' et C', je trouve :

A'(1/5 ; 4/5)
B'(0 ; 4/7)
C' ( 1/4 ; 0)

Normalement, après vérification sur le graphique, ces coordonnées sont bonnes. Maintenant, la question b et les équations cartésiennes :


* Equation cartésienne de (AA') :

4/5x - 1/5y + 0 = 0

* Equation cartésienne de (BB') :

-3/7x + 1y -1 = 0

*Equation cartésienne de (CC') :

-1x -1/4y + 1/4 = 0

Là, je ne sais pas du tout si c'est bon...

C) Démontrer avec les équations cartésiennes que ces 3 droites sont concourantes.

J'ai essayé en calculant x et y dans un système de deux équations et, après 45 minutes d'essai, je n'ai rien trouvé de correct niveau résultat (c'est pas faute d'avoir essayé pourtant...).

Question 2).

Là, je ne sais pas du tout comment calculer le barycentre... Si vous pouviez m'expliquer, ça m'aiderais beaucoup svp.

Donc question 3) pas commencée vu que pas de réponse Question 2)...


Svp, aidez-moi à comprendre comment exprimer le barycentre dans ce genre de situation parceque là, je suis largué et je n'y arrive vraiment pas et expliquez-moi ce qui va pas dans ma méthode de démonstration des droites concourantes à partir des équations.

Merci d'avance...

édit Océane : niveau modifié, merci d'en faire autant dans ton profil

Posté par
yodegExercice sur les barycentres 21-09-07 à 20:05

alut à tous.
J'ai un exercice à faire mais, je bloque quand même pas mal dessus donc jaimerais que vous m'aidiez un peu pour me montrer comment faire. Voici l'énoncé :

ABC est un triangle quelconque. Soient trois points A', B' et C, tels que :

Vecteur AC' = 1/4 Vecteur AB

Vecteur BA' = 4/5 Vecteur BC

Vecteur CB' = 3/7 Vecteur CA

1. On considère le repère (A; Vecteur AB ; Vecteur AC)

(a) Déterminer les coordonnées des points A', B', C'.
(b) Déterminer des équations cartésiennes des droites (AA'), (BB') et (CC').
(c) Démontrer, en utilisant les équations trouvées que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.

2. Ecrire cette fois les points A', B' et C' comme barycentres de deux points A, B et C (Justifier les réponses).

3. En utilisant l'associativité du barycentre, redémontrer que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.

Voici l'énoncé donc.

Pour les coordonnées des points A', B' et C', je trouve :

A'(1/5 ; 4/5)
B'(0 ; 4/7)
C' ( 1/4 ; 0)

Normalement, après vérification sur le graphique, ces coordonnées sont bonnes. Maintenant, la question b et les équations cartésiennes :


* Equation cartésienne de (AA') :

4/5x - 1/5y + 0 = 0

* Equation cartésienne de (BB') :

-3/7x + 1y -1 = 0

*Equation cartésienne de (CC') :

-1x -1/4y + 1/4 = 0

Là, je ne sais pas du tout si c'est bon...

C) Démontrer avec les équations cartésiennes que ces 3 droites sont concourantes.

J'ai essayé en calculant x et y dans un système de deux équations et, après 45 minutes d'essai, je n'ai rien trouvé de correct niveau résultat (c'est pas faute d'avoir essayé pourtant...).

Question 2).

Là, je ne sais pas du tout comment calculer le barycentre... Si vous pouviez m'expliquer, ça m'aiderais beaucoup svp.

Donc question 3) pas commencée vu que pas de réponse Question 2)...


Svp, aidez-moi à comprendre comment exprimer le barycentre dans ce genre de situation parceque là, je suis largué et je n'y arrive vraiment pas et expliquez-moi ce qui va pas dans ma méthode de démonstration des droites concourantes à partir des équations.

Merci d'avance...

*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les barycentres 21-09-07 à 22:19

Bonsoir,

1b) Pour les équations des droites:

(AA'):\;4x-y=0

(BB'):\;4x+7y-4=0

(CC'):\;4x+y-1=0

Je te fais (BB'):

B\|1\\0 B'\|0\\\frac{4}{7}

coefficient directeur: \frac{y_{B'}-y_{B}}{x_{B'}-x_B}=-\frac{4}{7}

Elle passe par B\|1\\0: y-0=-\frac{4}{7}(x-1)

Soit: (BB'):\; 4x+7y-4=0

c) On détermine le point d' intersection de (AA') et (BB')

Les coordonnée du point d' intersection vérifient le système:

\{4x-y=0\\4x+7y-4=0 qui a pour solutions: \{x=\frac{1}{8}\\y=\frac{1}{2}

On contrôle que ces coordonnées vérifient l' équation de (CC')

4x+y-1=\frac{4}{8}+\frac{1}{2}-1=0

Les trois droites sont donc concourantes en G\|\frac{1}{8}\\\frac{1}{2}

C' est un début...


*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les barycentres 21-09-07 à 22:41

...et voici la suite

2) 4\vec{AC'}=\vec{AB}
\vec{AC'}=\vec{AC'}+\vec{C'B}
3\vec{C'A}+ \vec{C'B}=\vec{0} donc C' barycentre de \{(A,3);(B,1)\}

5\vec{BA'}=4\vec{BC}
5\vec{BA'}=4\vec{BA'}+4\vec{A'C}
\vec{A'B}+4\vec{A'C}=\vec{0} donc A' barycentre de \{(B,1);(C,4)\}

7\vec{CB'}=3\vec{CA}
7\vec{CB'}=3\vec{CB'}+3\vec{B'A}
3\vec{B'A}+4\vec{B'C}=\vec{0} donc B' barycentre de \{(A,3);(C,4)\}

3) On considére G barycentre de \{(A,3);(B,1);(C,4)\}

En associant A et B: G barycentre de \{(C',4);(C,4)\} donc G \in (CC')

En associant B et C: G barycentre de \{(A',5);(A,3)\} donc G \in (AA')

En associant A et C: G barycentre de \{(B',7);(B,1)\} donc G \in (BB')

Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont donc concourantes en G











*** message déplacé ***

Posté par
sarriette Correcteurre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 00:36

bonsoir yodeg,

le multipost est interdit sur ce forum !

si tu veux faire remonter ton sujet dans la liste, poste un petit "up" dans le MÊme sujet.

Posté par
yodegre : Exercice sur les barycentres 22-09-07 à 12:17

Merci beaucoup, j'ai fini par comprendre quelques méthodes pour répondre à ce genre de question. Merci.

Par contre, j'ai une petite question sur l'associativité des barycentres de la dernière question :

On associe A et B par exemple pour trouver C' donc G barycentre de C et C'.

Mais en quoi consiste précisément cette règle d'associativité?

*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice sur les barycentres 22-09-07 à 12:47

Bonjour,

Soit par exemple I barycentre de \{(B,b);(C,c)\} avec b+c\not=0

et G barycentre de \{(A,a);(B,b);(C,c)\} avec a+b+c\not=0

La règle concernant l' associativité des barycentres permet d' écrire que:

G est le barycentre de \{(A,a);I(b+c)\}

Le barycentre d' un système de points affectés de coefficients de somme non nulle est le barycentre des barycentres partiels affectés des sommes des coefficients correspondants ( si elle sont non nulles).


*** message déplacé ***

Posté par
yodegre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 13:33

Je peux m'en servir pour poruver que 3 points sont alignés en montrat que  l'un est barycentre des deux autres donc?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 13:38

Citation :
prouver que 3 points sont alignés en montrant que l'un est barycentre des deux autres


C' est une méthode classique, oui. De là à utiliser l' associativité des barycentres, cela dépend du problème posé.

Ici, l' associatibité nous a servi à démontrer que 3 droites étaient concourantes en associant de 3 manières différentes 2 points parmi 3.

Posté par
yodegre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 13:41

J'ai beaucoup de mal avec les barycentres...
Rien que dans une figure, on me dit de démontrer que tel point est e barycentre des 2 autres et je sais pas du tout quoi dire. Je sais l'idée génrale mais je sais pas la rédiger en fait.

Posté par
yodegre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 14:08

Une petite question :

Pour le 2)  :

Pour montrer que B' barycentre de A et C. Es-tu sûr de ton calcul?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 20:17

Bonsoir,

Citation :
Pour le 2) :

Pour montrer que B' barycentre de A et C. Es-tu sûr de ton calcul?


Il me semble, oui, qu' est ce qui ne va pas?

Posté par
yodegre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 20:49

Ben en fait, je comprends pas pourquoi on passe de :

7CB' = 3CB' + 3B'A

a

3B'A + 4B'C = 0

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 21:00

Re,

7\vec{CB'}=3\vec{CB'}+3\vec{B'A}

4\vec{CB'}=3\vec{B'A}

3\vec{B'A}-4\vec{CB'}=\vec{0}

3\vec{B'A}+4\vec{B'C}=\vec{0}

non?

Posté par
yodegre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 22:16

Re.
Oui, c'est vrai J'suis bête j'ai fait une erreur d'innatention en recopiant... Merci pour tout en tout cas c'était bien sympa. J'ai réussi à capter quelques trucs et c'était pas de refus. Merci beaucoup!

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice avec barycentres et autres... 22-09-07 à 22:28

Citation :
J'ai réussi à capter quelques trucs


C' est déjà ça!


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