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Niveau première
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équation , forme irréductible

Posté par
Loum54
22-09-07 à 14:34

ReBonjour
Le sujet n'est pas trés explicite mais je n'ai rien trouvé de mieux :/.
C'est un exercice ou je n'ai heu, rien compris en gros je ne voit pas par quoi commencé ni comment faire :/

Voici l'énoncé :

D = (1-1/2²)(1-1/3²) ... (1-1/2007²).
écrire D sous forme irréductible.

Je ne vois pas ou ils veulent en venir :/
Peut être développé?
Merci de votre aide

Posté par
Loum54
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 16:19

Help plzzz

Posté par
moctar
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 16:50

Salut,
en réduisant au même dénominateur on obtient:
D=(\frac{2^2-1}{2^2})(\frac{3^2-1}{3^2})...(\frac{2006^2-1}{2006^2})(\frac{2007^2-1}{2007^2})
En utilisant l'identité remarquable a^2-b^2 au numérateur on obtient:
D=\(\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\)\(\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\)...\(\frac{(2006-1)(2006+1)}{2006^2}\)\(\frac{(2007-1)(2007+1)}{2007^2}\)
Je te laisse simplifier cette expression

Posté par
Loum54
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 17:08

Merci Moctar je vais ésséyé de simplifier pour l'instan je galére un peu mais sa devrait allé bonne continuation !

Posté par
Loum54
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 17:17

Erf je ne trouve pas de fraction pour (2006-1)(2006+1)/2006² et l'autre avec 2007 je trouve a la fin un nombre genre : 0,9999999503 :/ je ne comprend pas Moctar et tu toujours la ?^^

Posté par
Loum54
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 18:20

y'a pu personne ?

Posté par
111111
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 20:28

bonsoir
je continu sur la demarche de moctar  
D=(\frac{2^2-1}{2^2})(\frac{3^2-1}{3^2})...(\frac{2006^2-1}{2006^2})(\frac{2007^2-1}{2007^2}=(\frac{3}{4})(\frac{8}{9})...(\frac{2005\time 2007}{2006^2})(\frac{2006\time 2008}{2007^2})=\frac{2}{3}...\frac{2005\time1004}{1003\time2007}

Posté par
Loum54
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 21:15

Bonsoir, je cois avoir compri donc la forme iredductible serai 2/3 et 2005x1004/1003x2007 ?

Posté par
moctar
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 21:44

Salut,
pour voir comment ca se passe calculons:

4$A=\(1-\frac{1}{2^2}\)\(1-\frac{1}{3^2}\)\(1-\frac{1}{4^2}\)

et 4$B=\(1-\frac{1}{2^2}\)\(1-\frac{1}{3^2}\)\(1-\frac{1}{4^2}\)\(1-\frac{1}{5^2}\)

En utilisant ce que j'ai fait plus haut on obtient:

4$A=\frac{5}{2\times 4} et 4$B=\frac{6}{2\times 5}

On remarque que pour n entier naturel :

4$\(1-\frac{1}{2^2}\)\(1-\frac{1}{3^2}\)...\(1-\frac{1}{n^2}\)=\frac{n+1}{2\times n} donc en posant n=2007 on a:

4$D=\frac{2008}{2\times 2007}

Y a une manière plus rigoureuse de calculer D mais je ne pense pas que ce soit du niveau de Première.

Posté par
Loum54
re : équation , forme irréductible 22-09-07 à 23:11

dacord désolé de mon retard j'était sur l'autre exercice j'ai compris merci Moctar bonne nuit mintenant ^_^



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