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[smb]racine[/smb]3 est-il un nombre irrationnel?

Posté par oceanez (invité) 22-09-07 à 22:35

J'ai vraiment besoin d'aide.  alors/ la question est  Racine carre de 3 est-il un nombre irrationnel?

1) Soit a un nombre entier naturel. On designe par q le quotient (entier) et r le reste de la division euclidienne de a par 3

a. ecrire a en fonction de q et r. Quelles sont les valeurs possibles du reste r?
b.Ecrire, pour chacun de ces restes, a en fonction de q et r.
c. A quelle condition sur r , a est-il divisible pas 3?

2)Soit p un nombre entier. Monter que si pau carre est multiple de 3 alors p est un multiple de 3. (on pourra demonter l'implication contraposee de cette implication)

3) Supposons de racine carre de 3 soir un nombre rationeel. Alors, il existe deux nombres entiers a et b non nuls et premiers entre eux, telsque racine carre de 3=a sur b
Monter alors que:

a. a est un multiple de 3
b. b est un multiple de 3
c. conclure

Merci a ceux qui m'aiderons

Posté par
Flo08
re : [smb]racine[/smb]3 est-il un nombre irrationnel? 22-09-07 à 23:28

Bonsoir,

Question 1 :
a = 3q + r avec r < 3. on a r = 0 ou 1 ou 2 ;
si r = 0,   a = 3q ;
si r = 1,   a = 3q + 1 ;
si r = 2,   a = 3q + 2 ;
a et divisible par 3 ssi r = 0.

Question 2 :
soit p un nombre entier. on peut l'écrire sous la forme p = 3q  ou  p = 3q + 1  ou  p = 3q + 2 ;
si p = 3q,   p2 = 9q2 ;
si p = 3q + 1,   p2 = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2q) + 1 ;
si p = 3q + 2,   p2 = 9q2 + 12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1 ;
donc : p2 est multiple de 3 ssi p est multiple de 3.

Question 3 :
on pose 3 = a/b   avec a et b premiers entre eux.
a2/b2 = 3,    soit     a2 = 3b2.
a2 est donc multiple de 3. Or d'après la question 2, cela est possible si et seulement si a est multiple de 3. Donc, a2 est multiple de 9. Dans ce cas, b2, qui est égal à a2/3, est multiple de 3, ce qui est vrai ssi b est multiple de 3 (voir question 2).
a et b étant tous deux multiples de 3, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
3 ne peut donc pas être mis sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers premiers entre eux. Autrement dit, ce n'est pas un nombre rationnel.



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