Bonsoir,
Question 1 :
a = 3q + r avec r < 3. on a r = 0 ou 1 ou 2 ;
si r = 0, a = 3q ;
si r = 1, a = 3q + 1 ;
si r = 2, a = 3q + 2 ;
a et divisible par 3 ssi r = 0.
Question 2 :
soit p un nombre entier. on peut l'écrire sous la forme p = 3q ou p = 3q + 1 ou p = 3q + 2 ;
si p = 3q, p2 = 9q2 ;
si p = 3q + 1, p2 = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2q) + 1 ;
si p = 3q + 2, p2 = 9q2 + 12q + 4 = 3(3q2 + 4q + 1) + 1 ;
donc : p2 est multiple de 3 ssi p est multiple de 3.
Question 3 :
on pose 3 = a/b avec a et b premiers entre eux.
a2/b2 = 3, soit a2 = 3b2.
a2 est donc multiple de 3. Or d'après la question 2, cela est possible si et seulement si a est multiple de 3. Donc, a2 est multiple de 9. Dans ce cas, b2, qui est égal à a2/3, est multiple de 3, ce qui est vrai ssi b est multiple de 3 (voir question 2).
a et b étant tous deux multiples de 3, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
3 ne peut donc pas être mis sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers premiers entre eux. Autrement dit, ce n'est pas un nombre rationnel.