Trouver l'adhérence d'une partie

Posté par senemaths (invité)

Bonsoir,

j'aimerais savoir s'il y a une (ou plusieurs) "méthode(s)" pour déterminer l'adhérence d'un ensemble donné. Mon problème vient essentiellement du fait que je ne sais pas par où commencer lorsque j'ai un énoncé comme celui ci

trouver l'adhérence de A :
A = {}

Posté par romu romu

Bonsoir,

je suppose que tu cherches l'adhérence de dans ?

Déjà, on voit facilement que est dans ,
on pourrait alors se demander si tout point de [0,2] est limite d'une suite de points de .
Si c'est le cas vu que [0,2] est fermé, alors est l'adhérence de .

Posté par romu romu

Pardon, je dis n'importe quoi

Posté par senemaths (invité)

D'accord
mais comment sait on que [0,2] est bien le plus petit fermé ?

Posté par senemaths (invité)

lol ok on oublie

Posté par romu romu

bon après avoir plus réfléchi, je pense que l'adhérence de A, est .

On peut montrer que tout voisinage de 0 rencontre A.

Après il faudrait montrer que pour tout point x de [0,2] (qui est un fermé qui contient A) on peut trouver un voisinage de x qui ne rencontre pas A (mais je vois pas trop pour l'instant comment procéder).

Posté par romu romu

non pardon apparemment il y a encore d'autres points comme  les .

Posté par Ksilver Ksilver

l'adérence de A est :

A union [0} union tous les 1/n pour n entier non nul.

Posté par Ksilver Ksilver

et une petite démo sans avoir a trop mettre les main dans le cambouis


appelons C ={1/n n appartenant a N} U {0}

C est l'ensemble des point d'une suite convergente plus la limite de cette suite, c'est donc un compacte.

C*C est donc aussi un compacte.

dans ce cas si on note B ce que j'ai dit etre l'adhérence de de A, B est l'image de C*C par l'application (x,y)->(x+y) qui est continue. donc B est compacte, donc fermé.

et un element de B est evidement limite d'une suite d'element de A : 0 et la limite de la suite 1/n+ 1/n et 1/m est limite de la suite 1/m+1/n. donc B=adh A !

Posté par romu romu

Bonsoir Ksilver,

joli démo, il y a juste un point que je ne comprends pas:

Posté par Ksilver Ksilver

hum... c'est un résultat clssique, qu'on trouve souvent dans les cours sur la compacité : si tu prend une suite Un qui converge, et l ca limite, alors l'ensemble {l,U1,U2...,Un,...} est un compacte.

maintenant si tu ne connait pas ce résultat, la démonstration n'est certe pas tres compliqué, mais ca rend assez inutile ce que j'ai fait au poste d'avant (l'interet etait d'utiliser cela pour ne pas avoir a vraiment faire de la topologie quoi... )

Posté par romu romu

ok merci Ksilver, j'essaierai de retrouver ce résultat ce soir.

Posté par senemaths (invité)

Je crois qu'une des démonstrations repose sur le théorème de borel lebesgue vu en topologie de spé....
En tt cas merci à vous deux...

Posté par hanane 86 hanane 86

slt à tous
  J' ai un probleme avec  le point d accumulation et le point isolé
donc , dans le meme exercice càd (de Mr senemaths)
je voudrais bien savoir les pts d accumutations et les pts isolés de l'ensemble A et comment les determinaient
merci d avance