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Exercicre d'un DM de maths

Posté par
abrelosojos
02-10-07 à 21:10

Alors voilà j'ai un exercice de vrai ou faux sur lequel je bloque complètement. Pourriez vous m'aidez svp?

Pour chaque affirmations, après avoir précisé si elle est vraie ou fausse, il faut la prouver si elle est vraie ou donner un contre exemple dans le cas contraire.

1- Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a;+inf[ alors lim f(x) = - inf quand x tend vers + inf

> J'ai pensé à la fonction inverse qui est décroissante sur R+ et qui pourtant a pour limite 0 mais je ne sais pas si ça convient

2- Soient f et g deux fonctions définies sur [0;+inf[ avec g ne s'annulant pas sur [0;+inf[ :
Si qand x tend vers +inf lim f(x)=-inf et lim g(x) = +inf alors lim f(x)/g(x) =-1

> là il me semble que c'est faux mais pour le contre exemple...

3) Si f est définie sur [0;+inf[ et pour tout x de cet intervalle : 0< f(x)< racine de x alors lim f(x)/x=0 quand x tend vers +infini

> ...

4) On considère (O,i,j) un repère du plan. Si f est une fonction définie sur R* alors la droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère (O,i,j )

> j'aurais tendance à dire que c'est vrai! mais comment on le prouve?

5) Soit f une fonction définie sur R, on note C la courbe représentative de f et g la droite d'équation y=X-3 dans un repère (O,i,j)

a) Si g asymptote à C en +inf alors lim f(x)/x=1 quand x tend vers +inf

b)Si limf(x)/x=1 alors g est asymptote à C (x tend vers +inf)

c) si g est asymptote a C en +inf alors C ne peut admettre d'asymptote horizontale.

d) Si g est asymptote a C en -inf alors lim f(x) quand x tend vers -inf = +inf

> là je n'ai rien trouvé

Merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercicre d'un DM de maths 03-10-07 à 05:11

Bonjour,

1- Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a;+inf[ alors lim f(x) = - inf quand x tend vers + inf

FAUX. En effet, la fonction inverse est un bon contre-exemple.

2- Soient f et g deux fonctions définies sur [0;+inf[ avec g ne s'annulant pas sur [0;+inf[ :
Si qand x tend vers +inf lim f(x)=-inf et lim g(x) = +inf alors lim f(x)/g(x) =-1


FAUX. Contre-exemple : f(x) = -x et g(x) = x²

3) Si f est définie sur [0;+inf[ et pour tout x de cet intervalle : 0< f(x)< racine de x alors lim f(x)/x=0 quand x tend vers +infini

VRAI. A démontrer.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Exercicre d'un DM de maths 03-10-07 à 05:15

4) On considère (O,i,j) un repère du plan. Si f est une fonction définie sur R* alors la droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère (O,i,j )

FAUX. Contre-exemple : la fonction f définie par f(x)=3 sur R*

5) Soit f une fonction définie sur R, on note C la courbe représentative de f et g la droite d'équation y=X-3 dans un repère (O,i,j)

a) Si g asymptote à C en +inf alors lim f(x)/x=1 quand x tend vers +inf


VRAI. A démontrer, en partant de la définition de l'asymptote.

b)Si limf(x)/x=1 alors g est asymptote à C (x tend vers +inf)

FAUX. Contre-exemple : f(x) = x-2 g(x) = x-3

c) si g est asymptote a C en +inf alors C ne peut admettre d'asymptote horizontale.

Si on comprend "C ne peut pas admettre d'asymptote horizontale en +oo", alors :
VRAI. A démontrer.
Sinon, FAUX : g peut admettre une asymptote horizontale en -oo. Trouver un exemple

d) Si g est asymptote a C en -inf alors lim f(x) quand x tend vers -inf = +inf

FAUX. Revenir à la définition de l'asymptote pour montrer que la limite de f en -oo est -oo.



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