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Fonctions (difficile)
Posté par darksolid
BOnjour ,
Démontrer que f(x)= Arctan ( (
(1+x²) -1)/x) est décroissante (sans l'utilisation de la dérivation)
posons x = tan a ssi arctan x = a avec -
/2 <a</2
V1+x² - 1 / x = V1+ tan²a -1 / tana
=V1/cos²a -1 / tana
= |1/cosa |- 1 / tana or |cosa| = cosa car -pi/2<a<pi/2
= 1-cosa / cos a . cosa / sina
= 1-cos a / sina
= 2 sin²a/2 / 2 sin a/2 cos a/2
= tan a/2
= tan ( 1/2 arctanx)
la fonction : x
1/2 arctan x est croissante
la fonction qui à x tan x est croissante
or la composee de deux fonctions croissantes est croissante , donc : f est croissante
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