topologie générale

Posté par spirou spirou

Bonjour à tous les participants(tes) de l'île. Eh oui moi qui croyais après l'an passé que la topologie était terminée me voilà plongé dans Tychonov Baire Urysohn Tietze et les autres. Dur dur pour un début d'année. Enfin, on commence l'analyse fonctionnelle. Je passe beaucoup de temps sur cette matière que je pense avoir assimilé mais il reste quelques questions. En voici une
Soit X un espace localement compact et dénombrable. Alors X possède une base dénombrable de topologie constituée d'ouverts relativement compaacts.
voici ce que j'ai fait.
A) Soit un ouvert de X et montrons que U contient un ouvert relativement compact. Soit x appartient à U. Comme X est localement compact il existe une base de voisinage compact de x. Par conséquent, il existe un voisinage compact wx de x tel que x appartient à Wx  inclus à U. En tant que voisinage Wx contient un ouvert A tel que x appartient à A inclus dans Wx incus dansU. L'espace est de Hausdorff. Donc Wx est compact et fermé. On a par conséquent que la fermeture de A est inclus à Wx. Donc la fermeture de A est un compact (fermé inclus dans un compact). Par conséquent l'ouvert U contient bien un ouvert A relativement compact.
B)X est dénombrable. X possède une base dénombrable faite d'ouverts Oi. Chaque Oi contient un ouvert relativement compact. Apellon U la famille dénombrable de Ui. C'est là que je coince. Je parviens à prouver que tout ouvert de X contient un Ui. Mais je ne parviens pas à prouver que tout x est dans un Ui.
On a défini un localement compact comme un T2 ou tout point admet un voisinage compact. Ce voisinage est obligatoirement fermé. Est-ce que je me trompe?
Une dernière question dans la topologie produit le prof a fait une remarque du genre un produit infini d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert. Quelqu'un peut-il m'éclairer.
Un tout grand merci et bonne journée.
Spirou déjà fatigué.

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour spirou, j'essaie!

A)En fait j'ai l'impression que tu peux montrer un peu plus:

tout ouvert O est réunion d'ouverts relativement compacts.
Pour cela soit x dans O, il existe un ouvert relativement compact U contenant x.
Alors UO est un ouvert contenant x et inclus dans O.
De plus son adhérence(ou fermeture, comme tu voudras) est un fermé inclus dans l'adhérence de U, donc dans un compact.
Il en résulte que UUO est relativement compact.
Comme O est la réunion des x qui le composent, on obtient, en refaisant ce travail pour chaque x de O,que tout ouvert O est réunion d'ouverts relativement compacts.


B)Il existe une base dénbombrable Oi d'ouverts.Pour chacun d'entre eux, il existe une famille Ui,j d'ouverts relativement compacts qui le recouvrent.X étant dénombrable, Oi l'est aussi, et si on ne garde qu'un Ui,j pour chaque x de Oi, ce qu'on a fait en A) marche toujours, donc il n'y a qu'un ensemble dénombrable de Ui,j pour chaque Oi.
Une réunion dénombrable d'ensembles dénombrable étant dénombrable, l'ensemble des Ui,j est une famille dénombrable d'ouverts relativement compacts de X.
C'est une base puisque tout ouvert de X contient un Oi donc un Ui,j.
Je pense que c'est bon!




>Oui, tout compact séparé est fermé,mais qu'appelles-tu un T2?


>Je réfléchis!

Tigweg

Posté par Tigweg Tigweg

J'essaie, là aussi!

Soit E l'ensemble des suites à valeurs dans R, muni de la topologie usuelle.

Soit u un élément de E.


Appelons boule de rayon r>0 et de cente u l'ensemble des v de E tels que l'ensemble



soit une partie bornée de , et tel que

.

Appelons ouvert de E toute réunion de boules.Alors, l'intersection de deux boules (pas nécessairement de même centre)est certainement une réunion de boules(je ne l'ai pas fait mais j'ai l'impression que ça marche),
donc l'intersection de deux ouverts est un ouvert.Appelons T l'ensemble des ouverts de E.
Ainsi T est une topologie sur E.

De plus, si , alors la boule ouverte de centre u et de rayon r s'identifie au produit infini d'intervalles ,

puisque les éléments de ce produit infini sont justement les suites (un terme à choisir dans chaqueintervalle) dont la distance maximale aux termes de u est justement r.

Reste à trouver une familles d'ouverts de dont le produit ne s'identifie pas à un ouvert de E.
Mince, j'ai comme un doute tout-à-coup...Je regarde!

Posté par spirou spirou

Merci pour ton coup de main . J'ai bien compris la démonstration.
On a le même exercice si X est localement compact et séparable (possédant une base de topologie dénombrable). La première partie est toujours d'application. Par contre se repose la même question pour la deuxième partie et je ne peux plus utiliser ton argument pour le choix des Uij. Je pars en cours mais je bosses dessus tantôt.
PS un espace T2 est un espace de Hausdord(séparé).
Est-ce normal que j'éprouve beaucoup de difficultés pour la topologie alors que les autres parties du cours me semble plus facile?
Merci pour le temps consacré.
Spirou

Posté par Tigweg Tigweg

Avec plaisir Spirou!
Mais je ne suis moi non plus pas très à l'aise avec ces notions...

Comme c'est abstrait, faut vraiment beaucoup pratiquer pour acquérir de l'intuition!
OK pour T2,je ne connaissais pas l'appellation (contrôlée?)

Tigweg