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espaces normés_spé
Posté le 08-10-07 à 16:19
Posté par jnk (invité)
b(de spéonjour, j'arrive pas à faire un exercice de maths (de spé). soit E= C(R,R). Pour N stricmt positive fixé on note Fn=vect( sin px , p ds[|1,n|] ); et on pose pour f de Fn : ||f||n =somme de k=1 à N de valeur absolue f(k). obtient on une norme sur Fn?
dans le cas general je sais qu'il faut montrer entre autre que N(x)=O =) x=0, mais ici je vois pas comment montrer ce point?
merci d'avance
jn
b(de spéonjour, j'arrive pas à faire un exercice de maths (de spé). soit E= C(R,R). Pour N stricmt positive fixé on note Fn=vect( sin px , p ds[|1,n|] ); et on pose pour f de Fn : ||f||n =somme de k=1 à N de valeur absolue f(k). obtient on une norme sur Fn?
dans le cas general je sais qu'il faut montrer entre autre que N(x)=O =) x=0, mais ici je vois pas comment montrer ce point?
merci d'avance
jn
re : espaces normés_spé Posté le 08-10-07 à 17:04
Posté le 08-10-07 à 17:04Posté par 
Tigweg Tigweg 
Bonjour ,
l'inégalité triangulaire et l'homogénéité sont triviales.
Pour ce qui concerne la propriété N(x)=0 implique x=0,
considérons une conmbinaison linéaire=a_1sin(x)+..+a_nsin(nx))
d'éléments de Fn telle que
, ce qui s'écrit:
+a_2sin(2k)+...+a_nsin(kn)|=0)
soit:
![4$\forall k\in[1;n], a_1sin(k)+a_2sin(2k)+...+a_nsin(kn)=0](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$\forall k\in[1;n], a_1sin(k)+a_2sin(2k)+...+a_nsin(kn)=0)
.
On obtient alors un système de n équations d'inconnue)
.
Sous forme matricielle, il équivaut à l'équation en A:
où A est le vecteur colonne de k-ème composante ak,
et M est la matrice de k-ème ligne
;sin(2k);...;sin(nk)))
.
On cherche à prouver que A est le vecteur nul, c'est-à-dire que l'application linéaire associée à M dans toute base de
est injective, ce qui équivaut à l'inversibilité de M, ou encore à ce que son déterminant soit non nul.
Il ne reste donc plus que ce point à prouver.
Tigweg Tigweg Bonjour ,
l'inégalité triangulaire et l'homogénéité sont triviales.
Pour ce qui concerne la propriété N(x)=0 implique x=0,
considérons une conmbinaison linéaire
soit:
On obtient alors un système de n équations d'inconnue
Sous forme matricielle, il équivaut à l'équation en A:
où A est le vecteur colonne de k-ème composante ak,
et M est la matrice de k-ème ligne
On cherche à prouver que A est le vecteur nul, c'est-à-dire que l'application linéaire associée à M dans toute base de
Il ne reste donc plus que ce point à prouver.
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