Bornes supérieures

Posté par filhip (invité)

Bonjour à toutes et à tous.

Je remercie par avance, la personne qui pourra m'aider à avancer dans le raisonnenement suivant

soient E et F deux sous ensembles non vides majorés de R.
- Je dois faire une hypothèse entre sup ( E + F ) et sup E + sup F.
- Je dois démontrer que   est un majorant de E + F.
- soit g un nombre inférieur à sup E + sup F, je dois construire un nombre h de E + F tel que g < h < sup E + sup F
- et conclure

je vous souhaite bonne journée et vous remercie de votre aide

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,



sup(E + F) = sup(E) + sup(F)

Il faut donc montrer que :
(1) sup(E) + sup(F) est un majorant de E+F
(2) c'est le plus petit



Cela correspond au point (1) ci-dessus. C'est facile à montrer.



Cela correspond au point (2) ci-dessus. Pas bien compliqué non plus.

Où en es-tu ?

Posté par filhip (invité)

je dois dire

- le sous ensemble E de R est majoré s'il existe M[E] appartenant à R tel que e <  M[E]  pour tout e appartenant à E
- le sous ensemble F de R est majoré s'il existe M[F] appartenant à R tel que f <  M[F]   pour tout f appartenant à F
- les sous ensembles E + F de R sont majorés s'il existe M[E + F] appartenant à R tel que e + f <  M[E + F]   pour tout e appartenant à E et pour tout f appartenant à F

Est cela ??

par contre pas comment dire que c'est le plus petit

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Ce que tu as écris est juste. En fait, tu as juste recopié les définitions.

Maintenant, essaie de résoudre l'exercice en suivant le cheminement proposé. Relis mon message précédent.

Posté par filhip (invité)

je ne vois pas trop comment montrer...

- pour l'ensemble E, on a  e <ou = sup E
- pour l'ensemble F, on a  f <ou = sup F
- pour l'ensemble E+F, on a  e+f <ou = sup E + sup F

d'une part on a:    e+f <ou = sup E + sup F
d'autre part on a:  e + f <  M[E + F]

est ce que je peux conclure que sup E + sup F est un majorant de E + F

est cela?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Tu veux montrer que sup E + sup F est un majorant de E+T.
Comment cela se traduit-il en langage mathématique ? Que faut-il montrer ? (La réponse tient en une ligne)

Posté par filhip (invité)

aie aie aie...

sup E + sup F doit être égal au majorant de E+T   est-ce cela ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Pour montrer que sup E + sup F est un majorant de E+F, il faut montrer que :
pour tout e de E et f de F, e+f =< sup E + sup F

On prend donc un e dans E et un f dans F
On sait que :
e =< sup(E)
f =< sup(F)
----------
(on additionne membre à membre)
e+f =< sup E + sup F

CQFD

Reste à montrer que c'est le plus petit majorant. Utilise le cheminement proposé par l'énoncé.

Posté par filhip (invité)

ok j'avais ecrit cela au dessus

un grand merci pour l'aide da

Posté par filhip (invité)

un grand merci dans l'aide du raisonnement.

soit g < sup E + sup F
et  e+f =< sup E + sup F
donc g < e+f

est ce cela ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


Désolé, mais ce que tu avais écrit au-dessus n'était pas bien clair. Pour moi, ce n'est pas une démonstration.

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


Peux-tu détailler le raisonnement derrière le "donc" de la dernière ligne ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

On veut montrer que sup(E)+sup(F) est le plus petit majorant de E+F.

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il ne soit pas le plus petit majorant.
Supposons donc qu'il existe un nombre g vérifiant à la fois :
(i) g est un majorant de E+F
(ii) g < sup(E)+sup(F)

sup(E) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 est strictement inférieur à sup(E), donc ne peut pas être majorant de E.
Donc il existe un e de E tel que :
sup(E) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 < e =< sup(E) [1]

sup(F) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 est strictement inférieur à sup(F), donc ne peut pas être majorant de F.
Donc il existe un f de F tel que :
sup(F) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2 < f =< sup(F) [2]

On additionne [1] et [2] membre à membre :
g < e+f =< sup(E)+sup(F)

Donc g n'est pas un majorant de E+F

Contradictoire avec (i). Absurde.

CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par filhip (invité)

je pense avoir compris le principe

je n'aurai jamais trouvé    sup(E) - ( sup(E)+sup(F) - g)/2
trop filou pour moi  merci

donc pour construire le point h   tel que g < h < sup(E)+sup(F), je procède à l'envers du raisonnement précédent

un grand merci

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Pourquoi procéder à l'envers ?
h = "mon" e+f

Posté par filhip (invité)

OK J'y suis  h est le nombre  de E + F

merci pour tout  et bonne fin d'après midi

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je t'en prie.