Forum : arithmétique :
Congruence dans Z.

Bonjour, je n'arrive pas a faire cette exercice de maths.

1)Montrer que : a^6≡1[mod 7]
==========> rien de plus simple, on procede par disjonction de cas :
a≡1[mod 7] alors a^6≡1[mod 7]
a≡2[mod 7] alors a^6≡1[mod 7]
a≡3[mod 7] alors a^6≡1[mod 7]
a≡4[mod 7] alors a^6≡1[mod 7]
a≡5[mod 7] alors a^6≡1[mod 7]
a≡6[mod 7] alors a^6≡1[mod 7]

2)On appelle ordre de a modulo 7 le plus petit entier naturel non nul k tel que a^k≡1[mod 7].
Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k verifie :
a^r≡1[mod 7]
============> Alors la je ne sais pas du tout comment m'y prendre, j'ai tout essayé et a part le pifometre, rien ne marche
Pourriez-vous m'aider svp?

Amicalement,

SeB

bonjour pour le 2

6=kq + r avec 0<= r < k

a^6=a^(kq+r)
   = a^(kq)*a^r
   = ((a^k)^q)*a^r

par définition de k a^k=1 (7)

donc a^6=a^r (7)

comme a^6=1 (7)

donc a^r=1 (7)

ce qui est en contradiction avec l'ordre k de a qui est le plus petit entier tel que a^k=1 (7) car r < k  comme reste d'une division euclidienne.

donc r=0

donc k divise 6

donc k=1 2 3 ou 6

Merci beaucoups