Niveau première

Exerice de fonction polynome

Posté par
CoolRaoul 10-10-07 à 19:53

Bonjour a tous voila je vais vous partagez mon exercice et ce que je pense avoir deja trouver

Alors tout d abord un petit screenshot venu de ma calculatrice

Exerice de fonction polynome

f est la fonction x-> -5x+1 / 2x²+x+1 et sa representation graphique est le lein au dessus :p

1 ) démontrer que cette fonction est défini sur |R

Alors la j ai calculer 2x²+x+1 je trouve delta = -7 donc pas de solution donc

E = |R

2 ) démontrer que la courbe C est enterement a l interieur de la bande délimité par les droites d equation y= -1 et y= 4

Alors la je suppose qu il faut faire f(x) = -1 et f(x) = 4 ensuite tableau de signe mais bon j ai un peu de mal quand l inequation est pas = 0 et vu que la le denominateur a pas de solution je vois pas trop comment faire

3 ) determination du maximum :
  1- m est un réel donné. Demontrer que "f(x) <= m pour tout x reel" equivaut a 2mx²+(m+5)x+m-1 >= 0 pour tout reel x

  2- que cette conditions est verifier seulement pour les valeurs de m de l intervalle [ 25/7 ; +inf [

  3- justifier que 25/7 est les maximum de f

Bon voila donc ici la 2 et 3 je comprend mais la 1 eux rien lol

merci de me mettre sur la voix :p

édit Océane : image placée sur le serveur de l'

Posté par re : Exerice de fonction polynome 10-10-07 à 21:12

dois je etre rassurer par l absence de reponse et me dire que je ne suis pas le seul a comprendre ?

Franchement je comprend rien a la parti 3 eclairer moi un peu svp :p

Posté par re : Exerice de fonction polynome 11-10-07 à 01:18

bonsoir,

un peu tardif comme reponse mais toujours utile

1/ OK

2/ tu dois montrer que f(x) > -1 et f(x) < 4

pour la premiere inequation:

tu calcules f(x) - (-1) et tu etudies son signe

$\frac{-5x+1}{2x^2+x+1} - (-1) = \frac{-5x+1+2x^2+x+1}{2x^2+x+1} = \frac{2x^2-4x+2}{2x^2+x+1}= 2\,\frac{x^2-2x+1}{2x^2+x+1}= 2\,\frac{(x-1)^2}{2x^2+x+1}$

cette fraction est toujours positive ou nulle donc $f(x) -(-1) \ge 0$ d'òu $f(x) \ge -1$

la courbe est au dessus de la droite $y = -1$ et la touche en $x= 1$

pour la deuxieme inequation :

tu calcules f(x) - 4 et tu etudies le signe

tu as compris la methode, je te laisse faire.

3/ determination du maximum:

1- $f(x) \le m$ <=> $\frac{-5x+1}{2x^2+x+1}-m \le 0$ <=> $\frac{-5x+1 -m(2x^2+x+1)}{2x^2+x+1}$ <=> $\frac{-2mx^2-(5+m)x+1-m}{2x^2+x+1} \le 0$

le dénominateur étant toujours positif, la condition devient $-2mx^2-(5+m)x+1-m \le 0$ soit $2mx^2+(5+m)x-1+m \ge 0$

je te laisse finir la 2 et la 3 puisque tu sais faire!

Posté par re : Exerice de fonction polynome 11-10-07 à 09:04

Je te remercie beaucoup je regarderai sa plus en detail se soir

Posté par re : Exerice de fonction polynome 11-10-07 à 12:23

bonjour,

Comme je ne serai pas là ce soir, je te postel a suite au cas où tu bloques.
Tu n'es pas obligé de la regarder...

_____________________

Pour que ce trinome ait un signe constant positif pour tout x, il faut que son discrimant soit negatif ou nul et m positif
(il sera ainsi du signe de a, qui vaut 2m ici)

$\Delta = (5+m)^2-4\times 2m(-1+m) = -7m^2 +18m +25$

De nouveau $\delta = 18^2+4\times 7\times 25 = 1024 =3^2$

$m_1 = 25/7$ et $m_2 = -7/2$

Pour que \Delta reste negatif ou nul il faut m dans $]-\infty;-7/2]\cup[25/7;+\infty[$

Mais on avait aussi la condition m positif .

Le seul intervalle recevable pour m est donc $[25/7;+\infty[$

On a donc montré que pour tout x de |R , $f(x) \le m$ quand m est dans $[25/7;+\infty[$

le minimum des valeurs de m est 25/7 qui represente alors un maximum pour f(x)

Posté par re : Exerice de fonction polynome 11-10-07 à 20:41

Je te remercie beaucoup :p la suite m'a bien aider aussi lol c etais plus dur que je ne le pensais (quoi que quand on a la solution sous les yeux sa parait evident lol)

voila encore merci ++

Posté par re : Exerice de fonction polynome 11-10-07 à 20:42

de rien CoolRaoul,

bonne soirée !

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