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exercice MathS TS

Posté par joulia (invité) 24-10-07 à 17:42

Petit exercice que je n'arrive pas a résoudre . ..

EnonCé : On cherche les solutions de l'équation: x^3 - 3 -1 =0 sous la forme x=2cos(k) (k est une reel )

a) démontrer que cos(3k) + 3cos(k) = 4cos^3(k)

donc je sais qu'il faut utiliser les formules d'additions et duplication mais . .. je bloque

j'ai  cos(2k + k ) + 3cos (k)

et cos(2k) = 2cos(k)²-1 et aprés ? :s

b)Demontrer que x est solution de x^3 - 3x -1 si et seulment si cos(2k) = 1/2

c) trouver les réels k solutions de cos (3k) = 1/2

d) en déduire les solutions de d'équation x^3-3x-1

voila j'aimerais bien de l'aide et des explications ! merci beaucoup

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 24-10-07 à 18:09

Bonjour,

a) cos\,3k+3cos\,k=cos\,(2k+k)+3cos\,k=cos\,2k.cos\,k-sin\,2k.sin\,k

cos\,3k+3cos\,k=(2cos^k-1)cos\,k-2sin^2k.cos\,k+3cos\,k=2cos^3k-cos\,k-2(1-cos^2k).cos\,k+3cos\,k

cos\,3k+3cos\,k=4cos^3k

b) x=2cos\,k solution \Longleftrightarrow 8cos^3k-6cos\,k-1=0\Longleftrightarrow 2cos\,3k-1=0\Longleftrightarrow cos\,3k=\frac{1}{2}

c) cos\,3k=\frac{1}{2}=cos\,\frac{\pi}{3}

3k=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi n\in\mathbb{Z}

k=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2n\pi}{3}

d) d' où les trois solutions: x=2cos\,k avec k=\frac{\pi}{9} k=\frac{7\pi}{9} k=\frac{13\pi}{9}

Posté par joulia (invité)re : exercice MathS TS 24-10-07 à 18:27

merci pour votre aide, mais j'ai beau chercher je ne comprend pas la deuxième ligne de calcule quand
cos3k + 3cosk = (2cos²k-1)cosk - 2sinkcosk + 3cosk =s

vous utilisez quelle formule ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 24-10-07 à 18:42

On a: cos\,3k+3cos\,k=cos\,2k.cos\,k-sin\,2k.sin\,k+3cos\,k

J' utilise ensuite: \{cos\,2k=2cos^2k-1\\sin\,2k=2sin\,k.cos\,k et je remplace dans l' expression précédente...

Posté par joulia (invité)re : exercice MathS TS 24-10-07 à 19:21

oui oui le comte est bon, par contre, c'est pour les reel K, la question c). .. jcomprends pas tros .
Par contre il y a 3 solutions dont 2 négatives d'aprés le graphique representant
or vos valeurs sont toutes positives
enfin jcomprends pas tout !

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 14:47

Re,

Citation :
or vos valeurs sont toutes positives


Je ne crois pas:

x_1=2\,cos\,\frac{\pi}{9}>0

x_2=2\,cos\,\frac{7\pi}{9}<0

x_3=2\,cos\,\frac{13\pi}{9}<0

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 15:58

Encore moi,

Tu as k=\frac{\pi}{9}+\frac{2n\pi}{3} avec n entier relatif.

Pour n=0, on obtient k_1=\frac{\pi}{9}

Pour n=1, on obtient k_2=\frac{7\pi}{9}

Pour n=2, on obtient k_3=\frac{13\pi}{9}

Ensuite pour n=4, on obtient k_4=\frac{25\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}+2\pi=k_2+2\pi:

on retombe sur k_2 à 2\pi près.

de même, pour n=5, on retombe sur k_3 à 2\pi près.

et pour n=6, on retombe sur k_1 à 4\pi près.

et ainsi de suite pour des valeurs de n entières.

Si bien qu' il n' y a que 3 valeurs distinctes pour x_{k_i}=2\,cos\,k_i avec i=1,2,3:
exercice MathS TS

Posté par
sarriette Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 17:12

bonjour,

cailloux, tes figures sont des p'tits bijoux !

( choux , genoux, poux ...)

Va falloir que je me mette à géogébra, si c'est bien ce logiciel.

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 17:18

Bonjour Sarriette,

Oui, c' est Geogebra , mais il n' y a pas de miracle, une figure comme celle là, c' est 10 minutes...

Des bijoux, faut pas exagérer

Posté par
Camélia Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 17:29

Si, si c'est un bijouX

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 17:33

Bonjour Camélia

Le pire c' est que j' ai mis un "x" à cailloux parce qu' il y avait déjà un caillou d' inscrit

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:05

Au fait Sarriette, tu ne serais pas un tantinet coupable dans ce coup là: Congruences ! ?
Pas d' affolement, je suis pas aussi susceptible que ça...

Posté par
sarriette Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:06

Posté par joulia (invité)re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:14

lol merci beaucoup pour votre aide, j'ai compris cette fois si !
merci encore

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:15

Je vois...

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:16

De rien joulia

Posté par
sarriette Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:19



pas taper pas taper... le ferai plus !


cela dit j'ai téléchargé Geogebra, je vais m'amuser pendant toutes les vacances avec ça!

Posté par
cailloux Correcteur
re : exercice MathS TS 26-10-07 à 18:21

Tu ne vas pas le regretter



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