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fonction et dérivée

Posté par
likecat 25-10-07 à 18:34

bonjour à tous
j'ai un petit problème pour un dm.
voici l'énoncé :

Soit (E) l'équation d'inconnue x, élément de [0;] :
3x²/2 + 2cosx -5/2 =0. On se propose de déterminer le nombre de solutions de cette équation. On désigne par f la fonction définie sur [0;] par : f(x)= 3x²/2 + 2cosx -5/2
1 - Déterminer la fonction f' dérivée de f.(ça g trouver pas de problème)

2-Etudier les variations de f' sur [0;]
En déduire que l'équation f'(x)=0 admet sur l'intervalle [0;], un seule solution .

3-Déterminer le signe de f'(x) sur [0;]

4-Dresser le tableau de variations de f sur [0;]. En déduire le nombre de solutionq de (E).

Posté par
cailloux Correcteurre : fonction et dérivée 26-10-07 à 12:55

Bonjour,

1) f'(x)=x\sqrt{3}-2sin\,x

2)f''(x)=\sqrt{3}-2xos\,x=2(\frac{\sqrt{3}}{2}-cos\,x)

sur [0,\frac{\pi}{6}], f''(x)\leq 0 et f' est décroissante.

sur [\frac{\pi}{6},\pi], f''(x)\geq 0 et f' est croissante.

comme f'(0)=0 et f' décroissante sur [0,\frac{\pi}{6}], f'(x)\leq f(0) sur cet intervalle.

soit f'(x)\leq 0 sur [0,\frac{\pi}{6}].

Sur [\frac{\pi}{6},\pi], f' est continue et strictement croissante.

f'(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi\sqrt{3}}{6}-1<0 et f'(\pi)=\pi\sqrt{3}>0

On peut donc appliquer le TVI à f' sur [\frac{\pi}{6},\pi]:

\exists \alpha\;\text{unique}\;\alpha\in [\frac{\pi}{6},\pi]\;\text{tel\,que}\;f'(\alpha)=0

3) sur [0,\frac{\pi}{6}], f'(x)\leq 0

sur [\frac{\pi}{6},\alpha], f'(x)\leq f(\alpha) car f' est croissante sur cet intervalle.

donc sur [\frac{\pi}{6},\alpha], f'(x)\leq 0

sur [\alpha,\pi], f'(x)\geq f(\alpha) car f' est croissante sur cet intervalle.

donc sur [\alpha,\pi], f'(x)\geq 0

En résumé:

sur [0,\alpha], f'(x)\leq 0 et f est décroissante.

sur [\alpha,\pi], f'(x)\geq 0 et f est croissante.

4) f(0)=-\frac{1}{2} donc sur [0,\alpha], f(x)\leq f(0)<0 car f est décroissante sur cet intervalle.

sur [\alpha,\pi], f est continue et strictement croissante.

f(\alpha)<0 et f(\pi)=\frac{\pi^2\sqrt{3}-9}{2}>0

On peut donc appliquer le TVI à f sur [\alpha,\pi]:

\exists \alpha '\;\text{unique}\;\alpha '\in [\alpha,\pi]\;\text{tel\,que}\;f(\alpha ')=0

comme f(x)<0 strictement sur [0,\alpha], l' équation f(x)=0 admet donc une unique solution \alpha ' sur [0,\pi].

Posté par
likecatre : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:06

merci beaucoup
qu'est ce que le TVI?

Posté par
Nantais44re : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:07

TVI => Thèoréme des Valeurs Intermédiaires

Posté par
likecatre : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:14

ah.. est ce qu'il y orait une autre méthode dans ce cas, car je n'ai pas encore fait cette leçon..
donc je connais vraiment pas ce que sait

j'ai penser à étudier les variations de f' grâce à la limite.. mais je ne pense pas que ça soit la bonne méthode

Posté par
cailloux Correcteurre : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:22

Re,

Si tu ne connais pas encore le Théorème des Valeurs Intermédiaires, tu peux remplacer ces étapes par l' observation des tableaux de variations de f' d' abord et de f ensuite. Tu arriveras aux mêmes conclusions bien que ce soit une démarche "intuitive".

Posté par
likecatre : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:31

merci beaucoup
en fait j'fésitais à utiliser f" puisque on a jamais utiliser encore
Merci encore

Posté par
cailloux Correcteurre : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:33

De rien likecat

Posté par
likecatre : fonction et dérivée 26-10-07 à 19:44

cependant, j'ai encore une petite question..
si j'utilise f" je trouve les variations de f'
et pour l'étude du signe je dois "résoudre f'(x) > ou =0" c'est bien ça?

Posté par
cailloux Correcteurre : fonction et dérivée 26-10-07 à 20:59

Re,

Citation :
pour l'étude du signe je dois "résoudre f'(x) > ou =0" c'est bien ça?


Oui, autrement dit, chercher sur quel intervalle f'(x)\geq 0 et sur quel intervalle f'(x)\leq 0.

Regarde bien le tableau de variation de f': les valeurs de f'(0), de f(\pi), celle du minimum f'(\frac{\pi}{6}), en particulier leurs signes.

Tu verras que, nécessairement, f'(x) s' annule une fois en \alpha sur [\frac{\pi}{6},\pi]

Tu peux ensuite déterminer le signe de f'(x) sur [0,\pi] où \alpha sera une valeur "charnière".


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